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Maths
Analyse
Difficulté 4
Donner le sens de variation de(un) deˊfinie pour n∈N∗ : un=2nn\text{Donner le sens de variation de}\\\normalsize(u_n)\text{ définie pour }n\in\mathbb{N}^*\text{ :}\\ \ \\\large u_n=\LARGE\frac{2^n}{n}
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Maths
Analyse
Difficulté 4
Pour tout entier n≥1, on note unla somme des n premiers carreˊs,un=12+22+32+…+n2 1. Calculer les trois premierstermes de la suite (un). 2. Deˊterminer une relation entreun+1 et un. 3. On pose (vn) la suite deˊfiniepour tout n∈N par :vn=n(n+1)(2n+1)6 a. Montrer que u1=v1. b. Veˊrifier que la suite (vn) veˊrifie la meˆme relation de reˊcurrence que (un). Conclure.\text{Pour tout entier }n\geq 1\text{, on note }u_n\\\text{la somme des }n\text{ premiers carrés,}\\u_n=1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2\\ \ \\1.\,\text{Calculer les trois premiers}\\\text{termes de la suite }\left(u_n\right).\\ \ \\2.\text{ Déterminer une relation entre}\\u_{n+1}\text{ et }u_n.\\ \ \\3.\,\text{On pose }\left(v_n\right)\text{ la suite définie}\\\text{pour tout }n\in\mathbb{N}\text{ par :}\\v_n=\large\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\normalsize\\\,a.\,\text{Montrer que }u_1=v_1.\\\,b.\,\text{Vérifier que la suite }\left(v_n\right)\text{ vérifie}\\\,\text{la même relation de récurrence}\\\,\text{que }\left(u_n\right).\text{ Conclure.}
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Maths
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Difficulté 4
Maxime a 40€ dans son porte-monnaiele 1er janvier 2019 au matin. Tous lejours, il deˊpense le quart de ce qu’il adans son porte-monnaie et retire 25€soir dans un distributeur pour mettredans son porte-monnaie.On note un la somme qu’il aura dansson porte monnaie n jours apreˋs le 1erjanvier, au matin.On a u0=40. 1. Combien aura-t-il dans son portemonnaie le 2 janvier au matin ? 2. Donner la valeur de u0,u1 et u2. 3. La suite (un) est-elle arithmeˊtique ?geˊomeˊtrique ? 4. Justifier que pour tout n∈N,un+1=0,75un+25. 5. Soit (vn) la suite deˊfinie pour toutn∈N par vn=un−100. a. Deˊmontrer que (vn) est une suitegeˊomeˊtrique de raison 0,75. b. Deˊterminer la valeur de v0. c. En deˊduire l’expression de vn enfonction de n. d. En deˊduire l’expression de un enfonction de n. e. Combien aura-t-il dans son portemonnaie le 15 janvier au matin ?\small\text{Maxime a }40€\text{ dans son porte-monnaie}\\\text{le }1^{\text{er}}\text{ janvier }2019\text{ au matin. Tous le}\\\text{jours, il dépense le quart de ce qu'il a}\\\text{dans son porte-monnaie et retire }25€\\\text{soir dans un distributeur pour mettre}\\\text{dans son porte-monnaie.}\\\text{On note }u_n\text{ la somme qu'il aura dans}\\\text{son porte monnaie }n\text{ jours après le }1^{\text{er}}\\\text{janvier, au matin.}\\\text{On a }u_0=40.\\ \ \\1.\,\text{Combien aura-t-il dans son porte}\\\text{monnaie le 2 janvier au matin ?}\\ \ \\2.\,\text{Donner la valeur de }u_0,u_1\text{ et }u_2.\\ \ \\3.\,\text{La suite }\left(u_n\right)\text{ est-elle arithmétique ?}\\\text{géométrique ?}\\ \ \\4.\,\text{Justifier que pour tout }n\in\mathbb{N},\\u_{n+1}=0,75u_n+25.\\ \ \\5.\,\text{Soit }\left(v_n\right)\text{ la suite définie pour tout}\\n\in\mathbb{N}\text{ par }v_n=u_n-100.\\\,a.\,\text{Démontrer que }\left(v_n\right)\text{ est une suite}\\\text{géométrique de raison }0,75.\\\,b.\,\text{Déterminer la valeur de }v_0.\\\,c.\,\text{En déduire l'expression de }v_n\text{ en}\\\text{fonction de }n.\\\,d.\,\text{En déduire l'expression de }u_n\text{ en}\\\text{fonction de }n.\\\,e.\,\text{Combien aura-t-il dans son porte}\\\text{monnaie le }15\text{ janvier au matin ?}
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Difficulté 2
Eˊtudier les variations des suitessuivantes. a) (un) deˊfinie pour tout n∈Npar un=2n2−3n+1 b) (un) deˊfinie pour tout n∈Npar un=3n2n−1\text{Étudier les variations des suites}\\\text{suivantes.}\\ \ \\a)\,\left(u_n\right)\text{ définie pour tout }n\in\mathbb{N}\\\text{par }u_n=2n^2-3 n+1\\ \ \\b)\,\left(u_n\right)\text{ définie pour tout }n\in\mathbb{N}\\\text{par }u_n=\Large\frac{3^n}{2^{n-1}}
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Maths
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Difficulté 2
On peut montrer que deux suitessont eˊgales, en montrant qu’ellesont le meˆme premier terme etqu’elles suivent la meˆme relationde reˊcurrence. On consideˋre la suite (un) deˊfiniesur N par un=2n−1.On consideˋre la suite (vn) deˊfiniepar v0=0 et, pour tout ∈N,vn+1=2vn+1. On veut montrer que les deuxsuites (un)et (vn) sont eˊgales. 1. Calculer les trois premierstermes de chaque suite.2. Montrer que, pour tout entiern, on aun+1=2un+1.3. Conclure.\text{On peut montrer que deux suites}\\\text{sont égales, en montrant qu'elles}\\\text{ont le même premier terme et}\\\text{qu'elles suivent la même relation}\\\text{de récurrence.}\\ \ \\\text{On considère la suite }\left(u_n\right)\text{ définie}\\\text{sur }\mathbb{N}\text{ par }u_n=2^n-1.\\\text{On considère la suite }\left(v_n\right)\text{ définie}\\\text{par }v_0=0\text{ et, pour tout }\in\mathbb{N}\text{,}\\v_{n+1}=2 v_n+1.\\ \ \\\text{On veut montrer que les deux}\\\text{suites }\left(u_n\right)\text{et }\left(v_n\right)\text{ sont égales.}\\ \ \\1.\,\text{Calculer les trois premiers}\\\text{termes de chaque suite.}\\2.\,\text{Montrer que, pour tout entier}\\n\text{, on a}\quad u_{n+1}=2u_n+1.\\3.\,\text{Conclure.}
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Difficulté 2
On consideˋre la suite (un)deˊfinie sur N par :un=(n+1)2−n2 Montrer que la suite (un) estarithmeˊtique.\text{On considère la suite }\left(u_n\right)\\\text{définie sur }\mathbb{N}\text{ par :}\\u_n=(n+1)^2-n^2\\ \ \\\text{Montrer que la suite }\left(u_n\right)\text{ est}\\\text{arithmétique.}
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