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Aire entre deux courbes

En utilisant la méthode QCM, nous pouvons éliminer certaines réponses évidentes. Nous devons trouver l'air délimité par trois courbes : y = e^x, y = 1 - e^x et l'axe y. On nous demande la valeur de R, qui est une aire, donc positive. On peut remarquer que log(e) = 1 et que log est croissant. Donc, log(2) sera inférieur à 1 car e (environ 2.7) est supérieur à 2. Donc, R sera négatif et peut être éliminé. En faisant un dessin, on peut voir que l'aire R existe entre les courbes e^x, 1 - e^x et l'axe y. Donc, la réponse R = 0 peut également être éliminée. En reliant les courbes e^x et 1 - e^x, on trouve un triangle circulaire dont nous voulons trouver l'aire. Nous devons donc trouver les bornes de l'intégrale, en trouvant la valeur de alpha qui est le point d'intersection des deux courbes. En utilisant l'équation E^(2alpha) = 1 - E^(2alpha), nous trouvons que alpha est égal à -log(2). En substituant alpha dans l'intégrale de E^(2x) - E^(2alpha), nous obtenons R = 1 + alpha = 1 - log(2). Ainsi, nous avons trouvé la réponse recherchée.

Exponentielle et ses tangentes

Dans cet exercice basé sur la géométrie et les fonctions, des tangentes sont tracées à la fonction y = e^(2x) aux points d'abscisses p et q. Les tangentes croisent l'axe des x aux points a et b respectivement. Il y a une relation entre a, b, p et q qui est exprimée par a - p = b - q. Pour comprendre l'énoncé, une figure peut être tracée. En résolvant les équations des tangentes, on obtient les relations a - p = -1 et b - q = -1. Ainsi, la réponse à l'exercice est a - p = b - q. Il est conseillé de rejoindre la communauté Discord pour obtenir de l'aide supplémentaire.

Une intégrale à borne variable !

Dans cette vidéo, le professeur revient sur un exercice d'intégration qui est tombé en 2021 lors de l'examen d'admission en mathématiques. Il explique comment résoudre l'exercice de manière optimisée en utilisant les astuces et les formules vues en cours. Le professeur commence par nommer les différentes variables et termes de l'exercice pour faciliter les calculs. Il souligne l'intérêt de bien connaître les primitives pour réussir cet exercice. Il rappelle également un tableau des primitives classiques à connaître, en insistant sur une formule générale puissance alpha, qu'il recommande de retenir. Cette astuce permet de résoudre des exercices plus complexes plus rapidement. Ensuite, il passe au calcul de l'intégrale en question. Il explique comment calculer I2A, la primitive de racine de x et de x2. Il utilise la formule générale puissance alpha pour la racine de x, ce qui simplifie le calcul. Il obtient ainsi l'expression de I2A. Le professeur pose ensuite l'équation I de A égale 5 et propose de la simplifier en multipliant par 3. Il remarque alors une relation polynomiale de degré 2 entre les termes. Il utilise donc une méthode bien connue pour résoudre ce type de polynôme. Il rappelle également une méthode alternative en utilisant la technique du X carré moins SX plus P. Il explique comment trouver les racines du polynôme et propose deux méthodes pour y parvenir. Enfin, le professeur revient sur la condition initiale de l'exercice qui stipulait que A doit être un nombre positif. En utilisant les valeurs trouvées pour les racines du polynôme, il élimine une des solutions. Pour conclure, le professeur écrit l'équation finale qui relie A à la valeur 5 et trouve la solution correspondante. Il rappelle également une formule générale permettant de trouver la racine d'une puissance donnée, ce qui peut être utile dans d'autres exercices.