Home

Courses

MPSI/PCSI

Maths

Analyse

Analyse Asymptotique

Ce cours porte sur la comparaison d'équivalences de fonctions exponentielles. On considère deux fonctions f et g définies au voisinage d'un réel A. On veut montrer que exponentielle de f est équivalent à exponentielle de g si et seulement si la limite en A de f-g est égale à zéro.

Pour démontrer cette équivalence, on raisonne par équivalence et on utilise la définition de l'équivalent. On sait que exponentielle de f est équivalent à exponentielle de g en A, ce qui signifie que exponentielle de f divisé par exponentielle de g tend vers 1 en A. En passant par le logarithme naturel des deux côtés et en utilisant la continuité du logarithme, on obtient que f-g tend vers 0 en A.

Ensuite, on se demande si le fait que f soit équivalent à g en A implique forcément que exponentielle de f est équivalent à exponentielle de g en A. La réponse est non. On trouve un contre-exemple en prenant f(x)=x et g(x)=x+1. On a f équivalent à g car x+1 est équivalent à x, mais exponentielle de f(x) n'est pas équivalent à exponentielle de g(x) car leur quotient n'est pas égal à 1.

En conclusion, on constate qu'on ne peut pas composer librement les équivalents et il faut être prudent dans les compositions de fonctions. Dans certains cas particuliers, cela peut être possible, mais en général, il faut faire attention.

Alors si tu te poses des questions du genre est-ce que j'ai le droit de composer par une fonction, comment ça se comporte l'équivalent quand je compose par des fonctions, cet exercice il est vraiment intéressant, il est vraiment fait pour toi. Alors on se donne f et g, deux fonctions définies au voisinage d'un réel A qui peut être moins ou plus infini, et on te demande de montrer que exponentielle de f équivalent à exponentielle de g, si et seulement si la limite en A de f-g est égale à zéro. Et enfin on va te demander si le fait que f soit équivalent à g en A implique forcément que exponentielle de f est équivalent à exponentielle de g en A. Alors on commence par la première partie de la question déjà, et puis moi ce que je vous propose de faire c'est de raisonner par équivalence et de se ramener à la définition de l'équivalent. Alors on sait que exponentielle de f est équivalent à exponentielle de g en A, et ça c'est exactement dire que exponentielle de f divisé par exponentielle de g ça tend vers 1 en A. Mais ça par calcul sur les exponentielles ça revient à dire que exponentielle de f-g tend vers 1 en A. Je passe au ln des deux côtés, et puis par continuité du logarithme 1 j'obtiens que f-g tend vers 0 en A. Et maintenant on se pose la question de savoir si f équivalent en A à g implique forcément que exponentielle de f est équivalent en A à exponentielle de g. La réponse est clairement non. Pourquoi ? Je trouve un contre-exemple, j'ai qu'à prendre f de x est égal à x, et g de x est égal à x plus 1. On a bien f qui est équivalent à g, puisque x plus 1 c'est équivalent à x. Celui qui explose en plus l'infini c'est bien x. Et pourtant exponentielle de f de x c'est égal à exponentielle de x, et ce n'est pas équivalent à exponentielle de g de x qui est égale à exponentielle de x plus 1. Pourquoi ? Il suffit de faire le quotient. Exponentielle de x divisé par exponentielle de x plus 1 c'est égal à exponentielle de x moins x plus 1, c'est égal à e, et ça c'est pas 1. Conclusion, on vient de trouver un contre-exemple, et attention, attention, j'attire votre attention, j'ai beaucoup répété mais attention, on ne peut pas composer comme on veut pour les équivalents. Et même on ne peut pas composer du tout, je vous le déconseille, à part de certains cas particuliers. Mais en règle générale, soyez très prudents à la composition, puisqu'on vient de montrer que f équivalent à g n'implique pas exponentielle de f équivalent à exponentielle de g. Merci à tous.

Equivalents et signe

Equivalents et signe

Equivalents et signe