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Introduction à la récurrence

Ce cours vidéo explique la méthode de démonstration par récurrence, souvent utilisée dans le cadre des suites. Pour comprendre cette méthode, l'exemple classique de la somme des n premiers entiers consécutifs est utilisé.

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Concept et rédaction

Dans cette vidéo, le professeur explique l'importance de la rédaction, de l'initialisation et des erreurs à ne pas faire lorsqu'on démontre une propriété par récurrence. Le principe général consiste à montrer que si une propriété est vraie pour un entier, elle est vraie pour l'entier suivant. Pour cela, on utilise une initialisation et une transmission de la propriété. Il est crucial de conclure la démonstration. Dans 90% des exercices, la propriété sera vraie pour n=0, mais dans 10% des cas, elle sera vraie pour un autre entier. Le professeur donne l'exemple d'une suite définie de manière récurrente. Enfin, il montre un exemple de démonstration de propriété pour illustrer la rédaction attendue.

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Pourquoi l'initialisation ?

Dans ce cours, l'importance de la pitch net initiale est mise en avant, et un exemple est donné pour illustrer cela. Il est expliqué que certaines propriétés peuvent se transmettre même si elles sont fausses, comme l'exemple de P2N, qui n'est pas divisible par 3 mais qui peut être transmis d'un anti à l'autre dans une boucle. Cependant, pour trouver une initialisation pour cette propriété, il faut être complet et s'embêter à la faire à chaque fois, car il n'y aura jamais d'initialisation pour cette propriété. En somme, l'initialisation est importante et ne doit pas être négligée.

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Inégalité de Bernoulli : visuel

Dans cette vidéo, l'inégalité de Bernoulli est expliquée visuellement. L'inégalité énonce que pour tout réel A positif et entier N, 1 + A^N est supérieur ou égal à 1 + NA. Cette inégalité est étudiée dans le contexte de la récurrence, car la démonstration par récurrence est simple. L'objectif de cette vidéo est de fournir une intuition graphique plutôt qu'une simple mémorisation de la formule. Les deux éléments de l'inégalité sont considérés comme des fonctions, la gauche étant une exponentielle et la droite une affine. En utilisant un graphique interactif, on peut observer la relation entre les deux fonctions pour différentes valeurs de A. On constate que l'exponentielle monte beaucoup plus rapidement que la fonction affine, ce qui explique l'inégalité de Bernoulli. Les points de la suite définie par F à partir de G sont également tracés, montrant que la suite F est toujours supérieure à la suite G pour les entiers positifs. La vidéo se termine en expliquant que la compréhension de cette inégalité de Bernoulli est essentielle pour les démonstrations et qu'elle est basée sur une intuition graphique facilement accessible.

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Introduction Limites

Dans ce cours, on parle de limites de fonctions. Comparé aux limites de suites, qui portent uniquement sur les entiers, les fonctions se portent sur l'ensemble des réels, ce qui rend la tâche plus complexe. On peut parler de limites en l'infini (lorsque X tend vers l'infini), en un réel (lorsque X tend vers un réel spécifique), ou même de limite inexistante (lorsqu'il y a une oscillation infinie). On peut approcher les limites en analysant des graphes, comme celui d'une fonction qui se colle à une valeur réelle, qui tend vers l'infini, ou qui oscille très haut avant/derrière une valeur réelle. Les méthodes d'analyse comprennent une analyse graphique, le calcul de limites et la détermination d'asymptotes horizontales ou obliques. Il est important de comprendre les définitions et de savoir reconnaître les différents types de limites de fonctions.

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En l'infini, limites finies et infinies

Le cours traite de la notion de limite d'une fonction lorsque la variable x tend vers plus l'infini. Il y a deux définitions à connaître : lorsque la fonction tend vers plus l'infini et lorsque la fonction tend vers un réel L. Pour une fonction qui tend vers plus l'infini, cela signifie que pour tout plateau Y égal à un grand A choisi arbitrairement, la fonction finit toujours par dépasser complètement ce plateau. Pour une fonction qui tend vers un réel L, cela signifie que toutes les valeurs de la fonction finissent toujours par être dans un couloir, quelle que soit la largeur du couloir autour de la limite. Les définitions formelles sont ensuite données, avec des exemples graphiques pour illustrer la notion de couloir. Les définitions peuvent être utilisées pour résoudre des exercices, et il est important de les comprendre pour obtenir de bons résultats dans ce domaine.

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Les asymptotes horizontales

Découvrez dans cette vidéo les limites de fonction lorsque x converge vers l'infini et ce qu'est une asymptote. Il y aura plusieurs types d'asymptote, mais ici nous allons nous concentrer principalement sur une asymptote horizontale, qui est en fait une droite vers laquelle la courbe de f va venir se coller.Lorsque la limite de f, lorsque x tend vers l'infini, converge vers un réel, que l'on appelle L, la courbe se colle à une droite. Il est important de noter qu'il ne s'agit pas de l'asymptote de la fonction f, mais de celle de sa courbe.Il est possible de se coller à une droite de différentes manières, à la fois croissante et décroissante. Il est également possible d'avoir une asymptote horizontale avec une fonction sinus.En résumé, une asymptote horizontale est une droite vers laquelle la courbe de F se rapproche infiniment proche. C'est une notion liée à la vision assez intuitive qu'on peut avoir de la limite.

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Bonus : Les asymptotes obliques

Dans cette vidéo, on parle de l'asymptote oblique, qui est une droite inclinée qui se rapproche de la courbe d'une fonction dans la direction de plus infini ou moins infini. Lorsque la différence entre la valeur de la fonction et la droite tend vers 0, on dit que la droite est une asymptote oblique à la courbe. Ce concept est important en mathématiques et est souvent utilisé dans les exercices. Une illustration simple est donnée pour montrer comment une courbe tend vers une droite affine en plus infini ou moins infini. L'asymptote horizontale est également une autre question importante qui sera traitée dans une autre vidéo.

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En un point réel, limite infinie

Le cours aborde les limites de fonction avec x tendant vers un réel a. On distingue deux cas principaux : lorsque f tend vers plus ou moins l'infini et lorsque f converge vers une valeur finie. Les limites sont définies selon la capacité de la fonction à dépasser un plateau donné. La notion de limite à gauche et limite à droite est abordée. La définition de l'asymptote verticale est présentée pour les cas où la limite infinie est atteinte en un point fini.

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Introduction Convergence

Dans ce nouveau sous-chapitre sur les limites de fonctions, on va aborder des concepts pratiques. Il sera important de connaître par cœur certains tableaux de fonctions de référence, notamment la limite de 1 sur x en plus infini. On étudiera également comment combiner des limites, par exemple, si la fonction f tend vers 1 et la fonction g tend vers 2, quelle est la limite de f plus g ? Il y aura des règles générales à connaître ainsi que des cas particuliers appelés les formes indéterminées, pour lesquels il n'y aura pas de règles préétablies. On étudiera aussi des théorèmes de convergence, similaires à ceux déjà vus pour les suites. Le théorème des gendarmes, par exemple, où deux fonctions encadrent une troisième fonction et la conduisent vers la même limite. Il y aura également le théorème de comparaison pour les limites infinies, qui permet de déterminer si une fonction est plus grande qu'une autre en se basant sur leurs limites respectives. On abordera également la croissance comparée, en se concentrant principalement sur l'exponentiel et sa comparaison avec des polynômes. On verra aussi comment gérer les limites des fonctions composées, en décomposant les fonctions complexes en sous-blocs. En résumé, il sera nécessaire de connaître les tableaux de référence pour les fonctions, les opérations sur les limites, les formes indéterminées, les théorèmes de comparaison, de convergence et de croissance comparée, ainsi que la méthode pour gérer les formes indéterminées. Si on maîtrise ces points, on sera prêt à aborder les problèmes de limites de fonctions.

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Tableaux : fonctions de référence

Dans cette vidéo, le cours aborde les notions de limites et de règles de combinaison des fonctions de référence. Il commence par évoquer la fonction 1/x, dont la limite est plus l'infini lorsque x tend vers 0 du côté positif, et moins l'infini lorsque x tend vers 0 du côté négatif. Ensuite, les limites des fonctions x^n, où n est un nombre entier positif, sont abordées. On observe que ces fonctions tendent toutes vers plus l'infini lorsque x devient très grand. Cependant, si n est impair, la fonction tend vers moins l'infini lorsque x devient très petit. Ensuite, l'exponentielle et la racine sont étudiées. L'exponentielle de x tend vers plus l'infini lorsque x tend vers plus l'infini, et vers 0 lorsque x tend vers moins l'infini. La racine de x tend vers 0 lorsque x tend vers 0, et 1/racine de x tend vers 0 lorsque x tend vers plus l'infini et moins l'infini. Ces notions sont illustrées à l'aide de graphiques, facilitant leur compréhension. Il est important de retenir ces différentes limites lors de résolutions d'exercices, afin de ne pas se tromper dans les calculs. Le cours se termine en invitant les spectateurs à poser leurs questions dans la FAQ.

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Tableaux : combiner des limites

Ce cours aborde les limites de Fonctions. Lorsque deux fonctions, f et g, tendent vers les limites L et L', le produit de ces limites est L*L'. Si L est fini alors que la limite de g est soit +infini ou -infini, la limite de la multiplication est soit +infini ou -infini selon le signe de L. Pour les formes indéterminées, il n'y a pas de règle qui s'applique tout le temps. Les deux formes indéterminées à retenir sont 0 fois l'infini et plus l'infini plus moins l'infini. Les fonctions peuvent être combinées en quotient, f/g, et si les deux fonctions tendent vers des limites L et L', la limite du quotient est L/L'. Lorsque le quotient est 0 sur 0, toutes les réponses sont possibles. Lorsque le quotient est plus l'infini sur plus l'infini, toutes les réponses sont possibles également.