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Dans cette vidéo, le professeur explique l'importance de la rédaction, de l'initialisation et des erreurs à ne pas faire lorsqu'on démontre une propriété par récurrence. Le principe général consiste à montrer que si une propriété est vraie pour un entier, elle est vraie pour l'entier suivant. Pour cela, on utilise une initialisation et une transmission de la propriété. Il est crucial de conclure la démonstration. Dans 90% des exercices, la propriété sera vraie pour n=0, mais dans 10% des cas, elle sera vraie pour un autre entier. Le professeur donne l'exemple d'une suite définie de manière récurrente. Enfin, il montre un exemple de démonstration de propriété pour illustrer la rédaction attendue.

Pour cette première vidéo de cours sur la récurrence, j'ai envie d'insister un petit peu sur la rédaction, l'importance de l'initialisation et les erreurs à ne pas faire. Donc on va commencer le rappel de concept. On démontre une propriété par récurrence en montrant d'abord qu'elle est vraie pour un entier et deuxième propriété que si elle est vraie quelque part, alors elle est vraie juste après. Si elle est vraie pour 7, elle est vraie pour 8. Si elle est vraie pour n, elle est vraie pour n plus 1. La combinaison de cette pichenette initiale et de cette transmission nous donne une vérité de la propriété pour tous les entiers. C'est un peu ce que j'ai mis ici avec cet exemple de domino encore. Le principe général, donc traduit en mathématiques, c'est quand on a une propriété qu'on appelle P comme propriété de n, si on sait qu'elle est vraie quelque part, donc dans 90% des exos, c'est ça que je dis ici, dans 90% des exos, ce sera le cas, si elle est vraie pour n égale 0 et qu'ensuite on a la propriété de transmission qui est la propriété numéro 2 ici, propriété numéro 2, c'est-à-dire si c'est vrai en n, c'est vrai en n plus 1, alors pour tout entier, P de n sera vraie. Alors ça, c'est incroyable. C'est une des sources de perte de points les plus absolues que je vois tout le temps avec mes élèves. Il faut conclure. Il faut cette phrase, alors je l'ai mis en rose là, il faut absolument que vous le mettiez. Si vous ne mettez pas cette phrase de conclusion, le prof, alors selon son degré de sévérité, soit il vous mettra des points de pitié parce que vous avez bien fait le tout, il se dit quand même, ils ont tout fait, l'effort, je n'ai pas tout enlevé, soit il est juste très très strict, il dit, il n'y a pas de conclusion, ça ne vaut rien, il vous met 0 à l'exo. Ça fout les glandes, honnêtement. Donc essayez de faire gaffe. Le principe c'est, une fois que vous avez démontré l'hérédité, le fait que si on a P2N, ça implique P2N plus 1, il faut donner un peu une vision d'ensemble. Dire ok, j'ai montré la petite flamèche, la petite pigeonnette initiale, j'ai montré la transmission, concluons. Donc c'est vrai pour tout entier. On l'attend, c'est important, si vous ne le mettez pas, vous perdez les points, donc c'est comme ça. Dans cette vidéo, je voulais vous montrer surtout le fait que dans 10% des exos, donc attendez, on ne voit pas mon petit 10% là, dans 10% des exos, à peu près, mais après c'est des chiffres que je fais comme ça, c'est dans mon expérience, peut-être que c'est 12% des exercices. Dans 10% des exos, vous aurez exactement le même process, sauf que ça commence par N0. C'est-à-dire que vous aurez la propriété qui sera vraie, par exemple, pour 3 ou 4 ou 5, et non pas en 0. Et ça, il ne faut pas que ça vous fasse déjanter, genre je ne sais plus quoi faire. C'est en fait le même principe. Je vous fais un exemple, juste pour voir un exemple assez simple. Imaginez, on vous donne une suite UN, donc N plus grand régal à 2. Le premier truc qu'il faut remarquer, c'est ça. La définition même de la suite ne commence pas à 0. Ça a l'air louche, mais pourquoi pas. La définition de UN n'est pas explicite. On me donne un premier terme, puis une relation entre UN plus 1 et UN. On appelle ça une définition récurrente. Donc vous voyez pourquoi ce mot, tant à démonstration par récurrence, définition d'une suite de manière récurrente, ce mot est le même, parce qu'en fait, il y a l'idée de transmission d'un rang à l'autre. C'est pour ça qu'on retrouve un peu le même champ lexical. Donc ça, c'est un truc qu'on a vu en première. On vous dit, quel que soit N plus grand égal à 3, donc pour 2, on a ça, et pour 3 et plus, on a ça. UN plus 1 égal le terme d'avant, plus 1 sur N moins 2. Alors ça ressemble vachement à une suite arithmétique. C'est-à-dire le terme d'avant plus quelque chose. Ça serait une suite arithmétique, si on avait quelque chose de constant. Ici, c'est pas constant, ça dépend de N. Donc bon, c'est une suite bizarre, il va falloir qu'on voit ce qu'on peut faire. Je vous ai rajouté la petite erreur type. Donc on nous demande dans l'exo, montrer que, quel que soit N plus grand égal à 2, UN plus grand égal à 1. Alors j'ai pas pris la question du siècle, on va essayer de faire ça vite fait, mais c'est pour vous montrer la rédaction qu'on attend de vous. La magie du montage, je l'ai écrite à l'avance. On va avoir plusieurs étapes. On écrit soit N plus grand égal à 2, on définit la propriété P2N. P2N c'est U2N plus grand égal à 1. Très bien. Première étape, on fait l'initialisation. On écrit pour N égal 2, moi j'ai une définition qui m'a donné U2. U2 égal 1, C plus grand égal à 1. C'est bon, j'ai mon initialisation. Encore une fois, vérifiez bien que la rédaction suit ce que votre prof veut. Moi je vous fais une rédaction rapide qui prend les étapes, une par une. Je mets tout ce qu'il faut de minimal pour que ça soit bien. Mais adaptez-vous. S'il vous dit qu'il faut ce vocabulaire, ce mot-là, sinon c'est zéro, suivez-le, ne rentrez pas dans une révolution, ça ne sert à rien. Vous voulez une bonne note, un bon dossier, encore une fois, ne suivez que ce que dit le prof. Je vous fais juste un exemple rapide. Héréditez ensuite pour N plus grand égal à 3. On a déjà N égal 2 ici. Montrons que si PN est vrai, Oups, j'ai trop zoomé. Si PN est vrai, alors PN plus 1 est vrai. On a par hypothèse de récurrence. HR, encore une fois, c'est moi qui l'utilise comme petit raccourci. Si le prof ne le fait pas, attention. Il faut toujours s'adapter. UN plus grand égal à 1. Par définition, par hypothèse de récurrence, j'ai ça. Par définition, je sais que UN plus 1, c'est UN plus 1 sur N moins 2. Et donc, qu'est-ce que j'ai? UN plus grand égal à 1, je remplace ici. Le tout est plus grand que 1 plus 1 sur N moins 2. Le tout est donc plus grand que 1. Parce que 1 sur N moins 2, ça, c'est plus grand que zéro. Donc, PN plus 1 est vrai. Et là, on pourrait s'arrêter là et dire, c'est bon, c'est fini. Mais non. Petite étape numéro 3, la conclusion en rose. C'est moi qui ai mis du rose dans cette vidéo. On a donc démontré que pour N plus grand égal à 2, P de N est vrai. C'est tout. Si vous n'êtes pas sûr de quelque chose que j'ai fait, un exemple qui n'était pas très clair, ou que vous voulez une clarté supplémentaire sur un élément, n'hésitez pas à aller dans la FAQ, taper votre petit message, voir déjà s'il n'y a pas quelqu'un qui a posé la question, si quelqu'un n'y a pas déjà répondu. Et oui, on reviendra vers vous, comme d'hab. S'il y a une question qui est vachement vachement demandée, je ferai même une petite vidéo pour vous répondre. À la prochaine!

Concept et rédaction

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