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\\ \ \\ \ \\\LARGE \text{In\'egalit\'e de Bernoulli ?}

\\ \ \\\text{Pour tout réel }a>0\text{ et pour tout }n\in\mathbb{N}^*\\ \ \\\huge (1+a)^{n}\geq 1+na

\\ \ \\\large\text{Donner deux hypothèses pour}\\\text{montrer par récurrence la}\\\text{monotonie d'une suite ?}

\large\text{En général, on utilise ces}\\\text{hypothèses de récurrence :}\\\large u_{n+1}-u_n\geq 0\text{ pour }u_n\text{ croissante}\\u_{n+1}-u_n\leq0\text{ pour }u_n\text{ décroissante}\\ \ \\\text{Ou, si pour tout }n,\,u_n>0 :\\\Large\frac{u_{n+1}}{u_n}\large\geq1\text{ pour }u_n\text{ croissante}\\\Large\frac{u_{n+1}}{u_n}\large\leq1\text{ pour }u_n\text{ croissante}

\\ \ \\\Large\text{Peut-on se dispenser de}\\\text{l'initialisation dans une }\\\text{récurrence ?}

\\ \ \\\large \text{Non ! }\large\text{Il existe des propriétés qui}\\\text{se transmettent}\text{ mais ne sont}\\\text{jamais vraies !}\\ \ \\\text{Exemple : }3\text{ divise }2^n

\\ \ \\\large\text{Enoncer les étapes d'une}\\\text{démonstration par récurrence}

\\ \ \\

\large\text{1. Initialisation : Démontrer la}\\\text{propriété au rang initial }n_0\\ \ \\\text{2. Hérédité : Montrer que si la}\\\text{propriété est vraie à un rang }n\geq n_0\\\text{donné alors elle est vraie au rang}\\n+1\\ \ \\\text{3. Conclure}

\large\text{Comment détermine-t-on le terme}\\\text{général d'une suite définie par}\\\text{récurrence lorsque celle-ci a une}\\\text{forme atypique (ni arithmétique,}\\\text{ni géométrique) ?}

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\large\text{Quelle est la première étape}\\\text{de la méthode de récurrence ?}

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\large\text{La rédaction suivante (hérédité)}\\\text{est-elle bonne ou mauvaise ?}\\ \ \\\text{"Hérédité : Supposons P(k) vrai }\\\text{pour un certain }k\text{ fixé et montrons}\\\text{que P(k+1) est également vrai.}

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\large\text{La rédaction suivante (hérédité)}\\\text{est-elle bonne ou mauvaise ?}\\ \ \\\text{"Hérédité : Supposons P(k) vrai }\\\text{pour tout entier }k\text{ et montrons}\\\text{que P(k+1) est également vrai."}

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\large\text{Dans un contexte de récurrence,}\\\text{dans l'étape d'hérédité :}\\ \ \\\text{Comment appelle-t-on P(k) dans}\\\text{la phrase "Supposons P(k) vraie" ?}

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\large\text{Quelle est la meilleure méthode}\\\text{pour réaliser cet exercice ?}\\ \ \\\text{Soit }\left(u_n\right)\text{ la suite définie par}\\u_0=2\text{ et pour tout }n\in\mathbb{N},\\ u_{n+1}=2u_n-6.\\ \ \\\text{Montrer que }\left(u_n\right)\text{ est}\\\text{strictement décroissante.}

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\large\text{Quelle est la meilleure méthode}\\\text{pour réaliser cet exercice ?}\\ \ \\\text{Montrer que la suite définie}\\\text{par }u_n=\Large\frac{n^2+2n+1}{n}\large\text{ est minorée}\\\text{pour tout entier naturel }n>0.

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Qu est-ce que la démonstration par récurrence implique?

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Quelle est l'étape suivante après l'initialisation dans une démonstration par récurrence?

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Quel est le premier pas de la démonstration par récurrence?

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A quoi correspond

2^{n+1}

en termes de

2^n

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Quel est le but de l'hérédité dans une démonstration par récurrence?

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Quels sont les deux principes sur lesquels repose une démonstration par récurrence ?

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Que représente le principal de la récurrence en mathématiques ?

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Quelle est la première étape d'une démonstration par récurrence ?

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Quelle est la deuxième étape d'une démonstration par récurrence ?

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