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Boostez Votre Scolarité avec Nos Exercices Corrigés en Vidéo pour Tous les Niveaux

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Difficulté 1

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Difficulté 1

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Maths Spé

Analyse

Level 4

\text{Binôme de Newton}\\ \ \\1.\text{ Soit }(x,y)\text{ dans }\R^2\text{ et }n\text{ un}\\\text{entier naturel.}\\\text{Montrer par récurrence que}\\ (x+y)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k y^{n-k}\\ \ \\2.\text{ Soit a dans }\R^+.\\\text{Démontrer avec la formule pré-}\\\text{cédente l'inégalité de Bernoulli.}\\ \ \\\text{En déduire que pour tout }\alpha>1\\\text{la suite}(\alpha^n)_{n\in\N}\text{ tend vers }+\infty

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Maths Spé

Analyse

Level 4

\text{Soit }(u_{n})\text{ la suite définie pour}\\n\in\N\text{ par :}\\u_{0}=1\\u_{n+1}=3 u_{n}-2 n+1\\ \ \\1.\text{ Calculer }u_{1},u_{2}\text{ et }u_{3}.\\ \ \\2.\text{ Démontrer, par récurrence, que}\\\text{pour tout entier naturel }n\text{, on a :}\\u_{n}\geqslant n+1\\ \ \\\text{Cette suite }(u_{n})\text{ est-elle}\\\text{convergente ?}\\ \ \\3.\text{ Démontrer que la suite }(u_{n})\text{ est}\\\text{croissante.}\\ \ \\4.\text{ Démontrer que, pour tout entier}\\\text{naturel }n\text{, on a :}\\u_{n}=3^{n}+n\\ \ \\\text{Retrouver ainsi la valeur de }u_{10}

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Maths Spé

Analyse

Level 4

\text{Soit la fonction }f\text{ définie}\\\text{pour tout }x\text{ différent de 1 :}\\ \ \\f(x)=\large\frac{x^2+x-6}{2x-2}\normalsize\\ \ \\1.\text{ Déterminer l'existence de}\\\text{trois réels a, b, c tels que :}\\ \ \\f(x)=ax+b+\large\frac{c}{2x-2}\normalsize\\ \ \\2.\text{ En déduire l'existence}\\\text{d'une asymptote oblique.}

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Maths Spé

Analyse

Level 5

1.\text{ Déterminer la limite de }\\f(x)=x^{1/x}\text{ en }+\infty.\\ \ \\2.\text{ Soit }x\text{ réel.}\\\text{Déterminer la limite de}\\u_{n}=(1+\frac{x}{n})^n.\\ \ \\3.\text{ Limite de }f\text{ et }g\text{ en }+\infty\text{ :}\\f(x)=(1+\large\frac{1}{x^2}\normalsize)^x\\\text{ et }g(x)=(1+\large\frac{1}{x}\normalsize)^{x^2}

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Level 1

Binôme de Newton

\\

1. Soit

(x,y)

dans

\R^2

et n entier naturel. Montrer par récurrence que

\\

(x+y)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n \binom{n}{k}x^k y^{n-k}

\\

\text{2. Soit a dans}

\R^+

.
Démontrer avec la formule précédente
l'inégalité de Bernoulli.

\\

En déduire que pour tout

\alpha>1

\\

la suite

(\alpha^n)_{n\in\N}

tend vers

+ \infty

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Maths Spé

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Level 1

Soit

\left(u_{n}\right)

la suite définie pour

n \in \N

par

\\ \ \\

u_{0}=1

u_{n+1}=3 u_{n}-2 n+1

1. Calculer

u_{1}, u_{2}

u_{3}

.
2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel

n

, on a :

u_{n} \geqslant n+1

Cette suite

\left(u_{n}\right)

est-elle convergente?
3. Démontrer que la suite

\left(u_{n}\right)

est croissante.
4. Démontrer que, pour tout entier naturel

n

, on a :

u_{n}=3^{n}+n

Retrouver ainsi la valeur de

u_{10}

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Maths Spé

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Level 1

En utilisant la formule de la somme
géométrique et la dérivation
calculer pour

x

réel et

n\in\N^*

\displaystyle\sum_{k=0}^n kx^k

On distinguera le cas

x=1

.
Pour |x|<1 trouver la limite
de la somme pour

n\to\infty

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Maths Spé

Analyse

Level 5

\text{En utilisant la formule de la}\\\text{somme géométrique et la}\\\text{dérivation calculer pour }x\text{ réel}\\\text{et }n\in\N^*\text{ :}\\\quad\quad\quad\quad\quad\displaystyle\sum_{k=0}^n kx^k\\ \ \\\text{On distinguera le cas }x=1.\\\text{Pour }|x|<1\text{ trouver la limite}\\\text{de la somme pour }n\to\infty

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Maths Spé

Analyse

Level 4

\text{Soit }(u_n)_n\text{ définie pour }n\in\N^*\\\text{par : \quad}u_n=\large\frac{1}{n\times(n+1)}\normalsize\\ \ \\1.\text{ Déterminer sa limite.}\\ \ \\2.\text{ Montrer que }\forall n\in\N^*\\u_n=\large\frac{1}{n}\normalsize-\large\frac{1}{n+1}\normalsize\\ \ \\3.\text{ Utilisant le }2.\text{ calculer}\\S_n=u_1+...+u_n\\ \ \\4.\text{ Limite de }S_n\text{ ?}

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Maths Spé

Analyse

Level 1

1)\lim\limits_{x\to -\infty}x^2-2x+3=\text{ ?}\\2)\lim\limits_{x\to -\infty}x^4+4x^3-2x=\text{ ?}

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Maths Spé

Analyse

Level 3

\lim\limits_{x\to+\infty}\large\frac{2x^2+1}{1-x}\normalsize\text{ ?}\\ \ \\\text{Et en }-\infty\text{ ?}

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Maths Spé

Analyse

Level 4

a)\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+1}-x\\b)\lim\limits_{x\to+\infty}\sqrt{\large\frac{x^2+1}{x}}\normalsize-x

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