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BAC 2022

Dans cet exercice de probabilités, nous nous intéressons à une maladie affectant 7% de la population. Un test de dépistage est utilisé, donnant un résultat négatif dans 20% des cas pour les individus malades et un résultat positif dans 1% des cas pour les individus sains. 

La première question consiste à calculer la probabilité d'être malade et d'avoir un test positif. On utilise pour cela un arbre pondéré en se basant sur les informations données dans l'énoncé. La probabilité (M inter T) est obtenue en multipliant la probabilité d'être malade (0,07) par la probabilité d'avoir un test positif sachant qu'on est malade (0,01), ce qui donne 0,056.

Dans la deuxième question, on nous demande de démontrer que la probabilité d'avoir un test positif est de 0,0653. On utilise la formule des probabilités totales en considérant les cas où la personne est malade (0,056) et les cas où la personne n'est pas malade et a un test positif (0,0653), ce qui donne bien 0,0653.

Ensuite, on nous demande quelle probabilité est la plus pertinente dans le contexte

Salut, bienvenue dans cet exercice de BAC sur les probas. Alors, on nous donne un contexte, comme dans tous les exos de probas. On nous dit que selon les autorités sanitaires des Chars Fonçais, qu'on va nous parler d'une maladie, on a 7% des habitants qui sont affectés par une certaine maladie. Ensuite, on nous donne les résultats d'un test. Donc il y a un test qu'on fait pour savoir s'ils sont malades. Pour les individus malades, on nous dit que le test donne un résultat négatif dans 20% des cas. C'est-à-dire que si on est malade et qu'on se teste, il y a 20% de chance que le résultat soit négatif. Pour les individus sains, c'est-à-dire ceux qui ne sont pas malades, le test donne un résultat positif dans 1% des cas. Donc en gros, ça veut dire qu'on a des faux négatifs dans 20% des cas et des faux positifs dans 1% des cas. Ensuite, on choisit une personne au hasard dans la population. M, c'est l'événement où la personne est malade. T, c'est le test est positif. On commence, on nous demande de calculer la probabilité de M inter T. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré. Donc là, c'est ce qu'on va faire. On va faire l'arbre pondéré avec toutes les infos qu'on a dans l'énoncé. Donc la probabilité d'être malade, c'est 0,07 parce que 7% des habitants sont malades. Donc 0,07 pour M. Et donc on nous a dit, si on est malade, on a 20% de chance que le test fasse un faux négatif. Donc on complète avec 0,8. Ici, pareil, on complète avec 0,93 parce qu'on avait 0,07. Et quand on n'est pas malade, on a 1% de chance d'avoir un faux positif. Donc 0,01 pour avoir le test positif. Et pareil, 0,99 ici. Ce qu'on veut, c'est M inter T. M inter T, dans un arbre de proba, on regarde la branche qui a M et T, et on multiplie les valeurs. Parce qu'ici, ce que ça nous donne comme probabilité, c'est P de T sachant M. Et donc P de M inter T, c'est P de M fois P de T sachant M. Donc les nombres, on les a directement ici. Il n'y a plus qu'à multiplier, et ça nous fait 0,056. Ensuite, dans la question 2, on nous dit, démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, c'est 0,0653. Donc là, ce qu'on veut, c'est tout simplement chercher P de T, et on veut montrer que c'est égal à 0,0653. D'après la formule des probabilités totales, parce que là, c'est ça qu'on va utiliser, on cherche P de T. On va regarder P de M inter T et P de M bar inter T. Celui-ci, on l'a déjà calculé. Celui-ci, on le calcule exactement de la même manière. M bar inter T, on multiplie les deux qui sont là. Donc ça fait 0,93 fois 0,01. Et donc, on additionne les deux résultats, et on trouve bien 0,0653. Ensuite, dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître P de T sachant M ou P de M sachant T ? Là, c'est un peu biaisé, parce que ça, ce n'est pas forcément quelque chose qu'on apprend. C'est plus ou moins du bon sens, parce que ce qu'on veut dans le contexte d'une maladie, c'est savoir si le test est fiable. Parce que si le test nous donne une chance sur deux que le test se trompe, en fait, le test ne sert quasiment à rien. Là, ce qu'on veut, c'est la fiabilité du test. Pour la fiabilité du test, on veut savoir quelle est la probabilité d'être malade, sachant que le test a dit qu'on était malade. C'est ça qu'il faut savoir. C'est ça qui est intéressant de savoir dans un contexte de maladie. Si je me teste et que le test dit que je suis malade, est-ce que c'est vrai ou pas ? Avec combien de pourcentages de chance, c'est vrai ou pas ? Ça, c'est P de M sachant T. Ça veut dire, sachant que le test était positif, donc le test dit que je suis malade, quelle est la probabilité que je sois réellement malade ? Dans le contexte d'un dépistage de maladie, c'est P de M sachant T qui va nous intéresser plus. Dans la question 4, on considère que la personne choisie au hasard a eu un test positif. Quand on nous dit ça, ce qu'il faut dire directement, le réflexe, c'est qu'on est en sachant T. On dit que la personne choisie au hasard a eu un test positif. On sait qu'elle a un test positif. Donc sachant T. Ensuite, quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? Ce qu'on cherche, c'est exactement P de M sachant T. Là, ce qu'on utilise, c'est la formule... Petit rappel, la formule qu'on voit en première sur les probabilités conditionnelles, c'est la probabilité de l'intersection divisée par la probabilité qu'elle a en sachant. C'est P de M inter T sur P de T. On a déjà calculé tout ça. On n'a plus qu'à faire la division à la calculatrice. Ça fait à peu près 0,86, parce qu'on nous a dit d'arrondir à 10 mois de près. Donc le chiffre après la virgule. Ça fait à peu près 0,86. Ensuite, pour la question 5, on nous dit... On choisit des personnes au hasard. Là, généralement, c'est toujours dans l'exode proba, là où on va parler de variables aléatoires, parce qu'il faut bien en parler, forcément. On nous dit qu'on choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. Par exemple, si on le fait en France, on n'est pas loin de 70 millions, on va arrondir à 70 millions. Si on observe un individu au hasard en France et qu'on en observe un autre, la probabilité sera la même. Parce que, globalement, sur 70 millions, une personne de moins ou de plus, ça ne fausse pas les probas. C'est ça qu'on sous-entend. On sous-entend qu'il y en a le même nombre. Donc on dit X, c'est la variable aléatoire qui donne le nombre d'individus ayant un test positif parmi les 10 personnes qu'on a tirées. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par X. Dans 90% des cas, ce sera une loi binomiale. Au bac, on ne va pas chercher loin, on va parler de loi binomiale. Donc dans 90% des cas, ce sera une loi binomiale. Je dis 90, je suis gentil. J'en ai pas vu d'autres, mais je ne préfère pas dire 100% pour ne pas dire de bêtises. Dans 90% des cas, ce sera une loi binomiale. Mais il faut quand même le justifier. Il ne faut pas dire que c'est toujours une loi binomiale. Il faut quand même le justifier. Pour ça, il faut dire... Une loi binomiale, c'est quand on a une succession indépendante d'épreuves de Bernoulli. C'est ça qu'il faut justifier. Il faut dire qu'un tirage, c'est ce que j'ai écrit, correspond à une épreuve de Bernoulli. Une épreuve de Bernoulli, c'est succès ou échec. Le succès, c'est le test est positif. Le paramètre, c'est la probabilité du succès. C'est 0,0653. Et les tirages étant avec remise, c'est ce qu'on nous dit dans l'énoncé, on peut supposer qu'ils soient avec remise, il y a indépendance entre les tirages. Parce que c'est vrai que si on a un tirage sans remise, les tirages ne sont pas indépendants. Donc là, on ne suivrait pas une loi binomiale. Là, on nous dit que c'est avec remise, donc il y a indépendance entre les tirages. Donc, on a une succession de 10 épreuves identiques de Bernoulli, dont x suit une loi binomiale de paramètre n, qui est le nombre de fois où on répète, et p, qui est la probabilité du succès d'une épreuve de Bernoulli. Ensuite, on nous dit déterminer la probabilité pour qu'exactement deux personnes aient un test positif. Là, c'est la probabilité que la variable aléatoire soit égale à 2, parce que la variable aléatoire compte le nombre de personnes qui aient un test positif. On veut que ce soit égal à 2. Clairement, on calcule la variable aléatoire. Petit rappel, si x suit une loi binomiale de paramètre n et p, la probabilité que x soit égale à k, donc un nombre, c'est k parmi n fois p puissance k fois 1 moins p puissance n moins k. C'est exactement ça qu'on va utiliser. C'est 2 parmi 10 fois 0,0653 puissance 2. Ici, le k, c'est 2. Et x 1 moins 0,0653 à la puissance 8. Et ça, ça nous fait à peu près 0,11. Dans la question 6, on nous dit déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles ait un test positif soit supérieure à 99%. C'est une phrase à rallonge, mais pareil, globalement, on demande toujours la même chose. Déjà, on va regarder quelle probabilité. On regarde la probabilité de quoi ? On veut la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles ait un test positif. Si on regarde notre variable aléatoire, s'il y en a au moins une qui a un test positif, ça veut dire que la variable aléatoire vaut au moins 1. Donc la variable x est supérieure ou égale à 1. Et on veut que cette probabilité soit supérieure à 99%. En gros, on veut que la probabilité de x plus grand que 1 soit supérieure à 0,99. Petite précision, on nous dit supérieure et moi je mets supérieure ou égale, pareil ici, non ici c'est au moins, parce qu'en français, supérieure, ça implique supérieure ou égale, sinon on dirait strictement supérieure à 99%. Ça ne change absolument rien dans les calculs, c'est juste un détail ici. Mais voilà, c'est quelque chose qu'il faut savoir. Alors là, on ne va pas s'amuser à faire la probabilité que x soit supérieure ou égale à 1, on va passer par le complémentaire. Parce que le contraire de x supérieure ou égale à 1, c'est x égale à 0. Ça veut dire, si on veut regarder la probabilité qu'au moins l'une d'entre elles ait un test positif, en fait c'est 1 moins la probabilité qu'aucune ait un test positif. Donc c'est ça qu'on va calculer parce que c'est plus facile à calculer. Donc 1 moins P2x égale à 0, c'est ce qui nous intéresse, donc c'est P2x supérieure ou égale à 1. Du coup, ce qu'on cherche, ça équivaut à 1 moins P2x égale à 0 supérieure ou égale à 0.99. On remplace P2x égale à 0 comme dans la question d'avant par la grosse formule, on fait le calcul, et du coup on trouve que c'est 1 moins 9347 puissance n, supérieure ou égale à 0.99. On simplifie, en passant ce truc-là par ici et ce truc-là par là. Donc ça nous fait 0,01 supérieure à 0,9347 puissance n. Réflexe à avoir, on cherche n, parce que là ce qu'on cherche c'est le n. Notre inconnu est en puissance, réflexe absolu, on passe par le logarithme. Donc on va appliquer le logarithme à cette inégalité. Le logarithme étant une fonction croissante, quand on l'applique à une inégalité on ne change pas le sens de l'inégalité. Donc on a log de 0,01 supérieure ou égale à log de 0,9347 puissance n. Donc là on va utiliser la propriété du log, c'est pour ça qu'on utilise le log, qui consiste en fait, ça fait tomber la puissance, si on veut. Donc log de x puissance n, c'est n fois log de x. Donc c'est ça qu'on fait, le n du coup, il va passer devant le log ici, on le voit. Et là, on veut isoler n, donc on va diviser par ça. Il faut faire attention, parce qu'on est dans une inégalité, donc quand on divise par quelque chose, il faut se demander, est-ce que cette chose là, est-ce qu'elle est positive ou est-ce qu'elle est négative ? Parce que, si on divise par un nombre positif, bon ben on ne fait rien. Si on divise par un nombre négatif, ça change le sens de l'inégalité, c'est très important. Et là, il faut savoir dans les propriétés du log, que log de quelque chose, si le quelque chose est plus petit que 1, donc entre 0 et 1, et ben c'est négatif, et si le quelque chose est plus grand que 1, on est positif. Donc là, ben on est plus petit que 1, on est entre 0 et 1 du coup, donc on est négatif, donc quand on va diviser par log de 0,9347, on divise par un nombre négatif, donc on va changer le sens de l'inégalité, donc c'est pour ça que l'inégalité ici devient dans l'autre sens, quand on divise par ça, et donc n est plus grand que ça. Ensuite, ce truc là, si on le calcule, ça nous fait 68,2, et si on revient un peu, parce que là on a fait plein de calculs, on pourrait être un peu perdu, qu'est-ce qu'on cherchait en fait ? On cherche le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays, pour qu'il y en ait au moins une qui ait un test positif, pardon, pour que la probabilité qu'au moins une ait un test positif soit supérieure à 99%. Donc en gros, combien il faut en tester ? Là, ce qu'on a fait, c'est qu'on a laissé traîner le n, qui est le nombre de personnes qu'on teste, et on dit, pour que ce soit supérieur à 0,99, il faut que n soit supérieur à 68,2. Ben n, c'est un nombre entier, c'est un nombre de personnes, on ne va pas tester virgule 2 personnes, on ne peut pas les découper. Donc, en fait, l'entier, l'entier, comment dire, le plus près de 68,2, au-dessus, ben c'est 69. Donc il faut tester 69 personnes, pour que au moins une personne ait un test positif avec une probabilité supérieure à 99%.

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