Tout ce que vous devez savoir sur le cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique.

Dès le collège en classe de troisième, les cours de Maths abordent la notion de trigonométrie qui représente un aspect très important du prisme des mathématiques. Le cercle trigonométrique représente un outil fondamental dans la compréhension de la trigonométrie, et nous allons comprendre dans cet article pourquoi.

En quoi consiste le cercle trigonométrique ?

Formellement, le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon égal à 1, où O représente l'origine du plan cartésien. Il permet d'illustrer les trois fonctions trigonométriques que vous avez pu rencontrer dans vos cours de mathématiques : Cosinus, Sinus et Tangente.

Les angles trigonométriques

Procédons tout d'abord à un rappel des fonctions trigonométriques, bien entendu, il est très important de se souvenir que ces formules sont applicables si, et seulement s'il s'agit d'un triangle rectangle.

Le RADIAN

En trigonométrie, la mesure d'angle utilisée n'est plus le degré mais le radian. Les résultats fournis par les fonctions trigonométriques peuvent donc être en radians et non en degré, alors comment s'en sortir ? Par définition, un radian correspond à l'angle formée par un arc de cercle de longueur r, le rayon du cercle. Par conséquent, un tour complet de cercle correspond à 2

La fonction COSINUS

La fonction cosinus est définie telle que :

La fonction SINUS

La fonction sinus est définie telle que :

La fonction TANGENTE

La fonction tangente est définie telle que :

Les points trigonométriques

Maintenant que nous sommes revenus sur les fonctions trigonométriques, nous pouvons commencer à exploiter le cercle trigonométrique. Pour connaitre les coordonnées d'un point sur le cercle trigonométrique, appelé point trigonométrique, seulement une donnée est nécessaire : l'angle formée entre le point M et l'axe des abscisses (Ox). On peut alors en déduire l'abscisse et l'ordonnée en appliquant le fameux théorème de Pythagore dans le triangle rectangle suivant :

On retrouve bien, à partir des définitions des fonctions trigonométrique que

Les points remarquables

Bien entendu, l'utilité du cercle trigonométrique est de regrouper l'ensemble des valeurs pour des angles remarquables, que l'on peut récapituler sur ce cercle trigonométrique :

A l'aide de ce cercle, on peut donc très rapidement retrouver le résultat de cos(x) ou sin(x) pour des angles remarquables.

Exemple :

En reprenant la définition du cercle trigonométrique, on se rappelle que l'abscisse d'un point d'angle t sera cos(t) tandis que l'ordonnée sera sin(t). Ainsi,

• $cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ou encore,

• $cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$
• $sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

C'est dans ce type d'utilisation que le cercle trigonométrique sera un outil formidable. Voici un tableau regroupant l'ensemble des valeurs remarquables :

Exercices dérivés

La maitrise du cercle trigonométrique peut souvent d'avérer utile dans le cas de questions précises, nous allons revenir à travers plusieurs exemples, sur ces questions relatives au cercle.

Identifier un point sur le cercle trigonométrique.

De manière générale, l'équation d'un cercle s'écrit :

Ainsi, pour savoir si un point appartient au cercle trigonométrique, il suffit de vérifier qu'il vérifie l'équation du cercle.

Exemple 1 : Le point

Exemple 2 : Le point

Trouver les coordonnées d'un point d'angle qui n'appartient pas à l'intervalle [0;2$\pi$].

Il est fortement possible que vous rencontriez des angles qui n'appartiennent pas à cet intervalle. Pour autant, il ne faut pas paniquer, on peut très facilement se ramener au cas usuel.

Il faut bien comprendre que travailler avec un cercle trigonométrique revient à tourner autour du cercle en fonction de l'angle. Ainsi, une fois qu'un tour complet a été effectué, on retourne au point de départ, le tour effectué n'a en réalité "servi à rien". Il n'influera pas le résultat.

En comprenant cette notion, que vous retrouverez peut-être plus tard dans votre scolarité avec les congruences, il suffit en réalité de retrancher autant de tour "superflu" nécessaires de sorte à ramener l'angle dans l'intervalle usuel. En termes mathématiques, retrancher un tour signifie donc soustraire $2\pi$ radians.

Exemple 1 : Soit un angle

Une subtilité supplémentaire peut arriver lorsque l'angle

Exemple 2 : Soit un angle