La fonction inverse - Cours de maths pour lycée

La fonction inverse est une fonction essentielle en mathématiques, mais elle comporte beaucoup de subtilités qu'il faut avoir l'habitude de manier. Grâce à ce cours, tu pourras réussir tous les exercices avec brio.

La fonction inverse, c'est quoi exactement ?

Définition de la fonction

La fonction inverse est définie par la fonction qui a tout réel non nul x associe son inverse

La fonction est définie de

De même, l'ensemble d'arrivée de la fonction est

Supposons qu'il existe un antécédent de 0 par la fonction inverse. Ainsi, il existe

Ainsi, l'ensemble d'arrivée de la fonction inverse est

Graphe et tableau de variations

Le graphe de la fonction est caractéristique, la courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole.

On remarque qu'elle n'est effectivement pas définie en $0$ . De plus, la fonction inverse est strictement décroissante. Cela se vérifie avec le calcul de la dérivée.

A l'aide du graphe, on peut trouver le tableau de variations de la fonction. Tu peux aller voir l'article (...) pour en savoir plus.

Preuve : Pour trouver la dérivée, on calcule le taux d'accroissement de la fonction.

Soient

On met tout au même dénominateur afin de pouvoir réduire la fraction. On a ainsi :

Dans le but de connaître la dérivée, on calcule la limite en 0 de ce taux d'accroissement.

D'où,

Propriété de la fonction

Comme tu peux le remarquer sur le graphe, la courbe possède un centre de symétrie en 0 c'est-à-dire que la fonction est impaire. On le vérifie en montrant que

Un petit exemple d'application

Avec ce qui est au dessus, tu as assez d'outils pour étudier des fonctions dérivées de la fonction inverse.

Etudions par exemple la fonction

Domaine de définition

Il faut d'abord trouver le domaine de définition de cette fonction. On ne peut pas diviser par

Allure de la courbe et tableau de variations

Tu peux tracer le graphe de la fonction $g$ à l'aide de ta calculatrice. Tu obtiens ainsi le graphe suivant :

Comme tu peux le voir, l'allure de la courbe est la même, elle semble inversée par rapport à l'axe des abscisses. En effet, cela est dû au facteur

Le tableau de la variation de cette fonction se déduit de l'allure de la courbe.

Deux méthodes pour calculer la dérivée

Il y a deux manières principales de calculer la dérivée, en fonction de ton niveau scolaire.

Comme précédemment, il est possible de repartir de la définition et ainsi calculer le taux d'accroissement et sa limite.

Soient

On factorise par $-3$ pour simplifier les calculs puis on met tout au même dénominateur afin de pouvoir réduire la fraction . On a ainsi :

Afin de connaître la dérivée, on calcule la limite en 0 de ce taux d'accroissement.

D'où,