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Limites de Suites

Dans cette vidéo, nous démontrons les intuitions graphiques sur la limite des suites géométriques. Il y a plusieurs cas à démontrer. Dans le premier cas, lorsque Q est strictement supérieur à 1, nous démontrons que Q élevé à la puissance n tend vers l'infini. Pour cela, nous utilisons l'inégalité de Bernoulli et le terrain de comparaison. En posant Q = 1+h, avec h positif, nous appliquons l'inégalité de Bernoulli pour écrire que 1+h élevé à la puissance n est supérieur ou égal à 1+nh. Comme 1+nh est une suite arithmétique de raison positive qui tend vers l'infini, le terrain de comparaison nous permet d'affirmer que Q élevé à la puissance n tend vers l'infini. Les autres cas se rapportent au cas précédent. Par exemple, lorsque Q est entre 0 et 1, nous posons P = 1/Q et utilisons le résultat précédent pour dire que P élevé à la puissance n tend vers l'infini. Il en découle que Q élevé à la puissance n tend vers 0. Dans le dernier cas, nous appliquons le théorème des gendarmes pour encadrer la suite Q élevé à la puissance n entre deux suites qui convergent vers 0. Ainsi, Q élevé à la puissance n tend également vers 0. Les deux autres cas sont de simples astuces pour éviter de faire trop d'efforts lors de la démonstration. La démonstration des trois formules est assez rapide, avec un cas particulièrement fort lorsque Q est plus grand que 1. Les deux autres cas sont des façon astucieuses de réutiliser des résultats précédents. Cette démonstration doit être connue par cœur dans le programme. N'hésitez pas à poser vos questions dans la FAQ et je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Dans cette vidéo, nous allons démontrer les intuitions qu'on a vues graphiquement sur la limite des suites géométriques. Alors il y aura plusieurs cas. Premier cas, Q plus grand strict que 1, on va démontrer que Q puissance n tend vers plus infini. L'idée ici c'est d'utiliser deux grandes parties du cours, deux grands points du cours. D'un côté l'inégalité de Bernoulli, de l'autre le terrain de comparaison. Q plus grand que 1, on va s'amuser à écrire ça Q égale 1 plus h. C'est un truc de math, on aime bien comparer plutôt à 0 qu'à autre chose. J'aurais par exemple Q plus grand que 2, on pourrait poser Q égale 2 plus h, avec petit h positif. C'est utilisé couramment, et ici ça va nous permettre d'appliquer tout bêtement l'inégalité de Bernoulli. Q puissance n sera donc égale à 1 plus h puissance n. 1 plus h puissance n, h étant positif, je suis dans les conditions d'utilisation de l'inégalité de Bernoulli. Et je peux écrire que 1 plus h puissance n est plus grand ou égal que 1 plus n h. 1 plus n h c'est une suite très simple, une suite arithmétique de raison positive. Je sais qu'elle tend vers plus infini. Le terrain de comparaison qu'est-ce qu'il dit ? Une suite qui est plus petite qu'une autre, et que la petite tend vers plus infini, elle entraîne avec elle la plus grosse. C'est ce qu'il se passe ici, on va utiliser le terrain de comparaison. 1 plus h puissance n va tend vers plus infini, donc Q puissance n tend vers plus infini. Le reste ça coule de source également, parce qu'en fait on va juste se rapporter au cas précédent à chaque fois. Par exemple pour Q entre 0 et 1, on va juste poser P égal 1 sur Q, c'est encore une astuce de matheux. Faut retenir, les matheux c'est toujours, moi c'est ce que je dis, c'est toujours au plus profond de leur âme des glandus. Donc ils n'ont pas envie de faire trop d'efforts. Et comme ils n'ont pas envie de faire d'efforts, ils se disent bon j'ai déjà démontré un truc, je vais le réutiliser au maximum et je vais faire moins d'efforts possibles. Si je pose P égal 1 sur Q, je me retrouve avec un P qui est lui plus grand que 1 justement. A ce P particulier, je peux appliquer le résultat d'avant. P puissance n est plus grand, donc avec P plus grand que 1, je peux appliquer le résultat d'avant et dire P puissance n tend vers plus infini. Or Q puissance n c'est juste 1 sur P puissance n, ce qui nous fait tout bêtement 1 sur plus infini entre guillemets et ça fait 0. Le dernier cas, je vais me bouger un peu. On va utiliser cette fois-ci le même genre d'esprit, c'est-à-dire qu'on va essayer de s'inspirer du cas précédent et on va appliquer le théorème des gendarmes. Le théorème des gendarmes c'est un peu le théorème de comparaison mais pour une limite finie. C'est-à-dire si on arrive à encadrer par deux suites une certaine suite, s'il y en a une au milieu de deux qui converge chacune vers quelque chose, elles vont la forcer à converger aussi. Imaginez que celle-ci tend vers 0, celle-ci tend vers 0, celle au milieu va tendre vers 0 aussi, elle n'a pas le choix. Donc je vais appliquer ce théorème des gendarmes à la suite. Alors à quelle suite justement ? On va poser s égale moins Q. On a Q ici entre moins 1 et 0, donc encore un cas proche de 0 mais négatif cette fois. On pose s égale moins Q exprès pour se rapporter au cas précédent. Si s égale moins Q, je sais tout de suite avec la case numéro 2 qui est là-bas que s puissance n va tendre vers 0. Ensuite j'écris Q puissance n. Q puissance n c'est donc moins 1 puissance n fois s puissance n. Le moins 1 peut sortir de la parenthèse. Enfin oui, je peux faire un produit de puissance. Et donc là c'est facile pour moi de conclure. Je sais que Q puissance n est compris entre moins 1 fois s puissance n et 1 fois s puissance n. Le théorème des gendarmes s'applique. Le s puissance n et le moins s puissance n, tous les deux convergent vers 0. Ils emportent dans leur convergence Q puissance n qui est au milieu. C'est ainsi qu'on fait la démonstration des trois formules. C'est assez rapide, il y en a une vraiment forte, c'est-à-dire Q plus grand que 1. C'est-à-dire une, on apporte vraiment du contenu, on utilise l'inégalité de Bernoulli, etc. Les deux autres, ce sont en fait des manières astucieuses de pas trop faire d'efforts et d'avoir 3 pour le prix d'un. J'espère que ça va à peu près, que c'est très clair. C'est une petite démonstration mais elle est à savoir par cœur dans le programme. Donc n'hésitez pas, dites-moi si vous avez des questions, si vous avez des doutes sur quelque chose. Allez dans la FAQ comme d'hab, posez des questions, discutez. Et je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Suites géométriques : démo

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