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Analyse Terminale

Limites de Suites

Dans ce cours, nous allons aborder la définition formelle d'une limite, ce qui peut être déroutant pour les élèves, mais essentiel pour ceux qui poursuivent leurs études en mathématiques. Nous allons utiliser des exemples pour expliquer comment comprendre la définition d'une limite avec les epsilon. 
La suite Un est définie comme égale à 3n + 2. Nous voulons montrer que, pour tout réel A strictement supérieur à 0, il existe un entier naturel n0 tel que si n est supérieur à n0, alors Un est supérieur à A. 
En d'autres termes, peu importe à quel point A est grand, nous voulons montrer qu'à partir d'un certain rang n0, tous les termes de la suite sont supérieurs à cette barrière A. 
Si nous prenons A comme étant aussi grand que nous le souhaitons, y compris des valeurs très élevées, cela revient à définir une limite à l'infini. 
Nous résolvons l'équation 3n + 2 > A, ce qui nous donne n > (A - 2) / 3. 
Mais n doit être un entier naturel, donc nous ne pouvons pas dire que n0 est égal à cette expression. 
Pour montrer l'existence d'un entier n0, nous prenons la partie entière de (A - 2) / 3 + 1 comme valeur de n0. 
Ainsi, si n est supérieur à la partie entière de (A - 2) / 3 + 1, alors n sera également supérieur à (A - 2) / 3, ce qui signifie que Un sera supérieur à A. 
Cela correspond à la définition formelle de la limite à l'infini. Nous pouvons imaginer une barrière A1, A2, A3, etc., et il existera toujours un rang à partir duquel tous les termes de la suite seront au-dessus de cette barrière. 
Bien que les définitions formelles puissent sembler compliquées au départ, elles deviennent plus claires avec la pratique. Si vous avez des questions, consultez la FAQ.

Cette fois, on va revenir à la définition même de l'une limite, ce que les élèves n'aiment pas trop, mais pour tous ceux qui continuent les maths l'année prochaine, c'est hyper important. Donc vous vous effleurez un peu le concept en terminale, voire même un peu plus, et après c'est quelque chose que vous maîtriserez l'année prochaine pour ceux qui continuent. On va essayer de voir avec des exemples comment ne pas avoir peur de la définition formelle d'une limite avec les epsilon. Alors, on nous définit une suite Un égale 3n plus 2. Et là, ce qu'on veut montrer, c'est que... Alors je suis énoncé, pour tout réel A directement supérieur à 0, je veux déterminer le plus petit entier naturel n0, tel que si n supérieur à n0, ça veut dire que Un supérieur à A. Maintenant, il faut essayer de le traduire ça en français. C'était la définition mathématique. Et en fait, sous-entendu, je prends un réel A, mais qui peut être aussi grand que je veux. Peu importe s'il vaut un million, un milliard, et qu'il est très très grand. En fait, je veux montrer qu'à partir d'un certain rang, n0, la suite est au-dessus de cette barrière. Un million, un milliard, etc. Donc si, quelle que soit la hauteur que je me fixe, aussi haute que je veux, à partir du moment où je dépasse cette hauteur-là, ça c'est la définition même d'une limite en plus d'infini vers plus d'infini. C'est ça qu'on va essayer de montrer. Donc, A supérieur à 0, c'est mon hypothèse. Je vais essayer de résoudre Un supérieur à A. Il faut que je trouve un entier n0 à partir duquel c'est toujours vrai. Très bien, je résous mon équation. 3n plus 2 supérieur à A, donc 3n supérieur à moins 2. Et n supérieur à A moins 2 sur 3. Alors là, il faut faire attention, puisque n est un entier naturel. Je ne veux pas dire que n0, ça vaut ce truc-là. Ça, ce n'est pas forcément un entier. Là, je l'appelle B, ce réel, qui a priori n'est pas un entier. A n'est pas forcément un entier. Je vous ai montré sur un petit dessin que ce n'est pas très compliqué. B est entouré par sa partie entière et sa partie entière plus 1. Je veux juste montrer l'existence d'un entier n0. Pour ne pas prendre de riche, je vais prendre partie entière de B plus 1. Ça, c'est bien un entier. Si n est supérieur à partie entière de B plus 1, il sera aussi supérieur à B, donc c'est bon. Le plus petit entier n0, tel que n supérieur à n0, tel que si n supérieur à n0 implique un supérieur à A, cet entier-là, je vais l'écrire comme étant partie entière de A moins 2 sur 3 plus 1. N'oubliez pas ces histoires de partie entière parce que si je prends juste A moins 2 sur 3, ce n'est pas juste parce que ce n'est pas forcément un entier. Ça, c'est bon. Là, on reconnaît la définition de la limite vers plus infini, comme je vous le disais. Je vous ai fait un petit dessin pour qu'on comprenne un peu. La définition de Un tend vers plus infini, c'est que quelle que soit la hauteur que je me fixe, il existe un entier, un rang à partir duquel tous les éléments de la suite seront au-dessus de cette barrière. Je vous ai fait un exemple. Imaginons que je fixe une barrière que j'appelle A1. Je vous ai fait un exemple de suite qui a l'air de tendre vers plus infini. Là, on voit qu'à partir de ce rang-là, la suite est supérieure à A1 tout le temps. Si je fixe A2, à partir de ce rang-là, la suite est au-dessus de A2, et ainsi de suite. Si A3 est là, à partir du rang que j'appelais N03, la suite est au-dessus. Là, on voit bien avec cette suite que, même si je mets une barrière très haut, peut-être que mon rang sera élevé, mais je trouverai toujours un rang à partir duquel ça sera au-dessus. Donc ça, c'est la définition, ce qu'on appelle la définition formelle de la limite. Voilà pour cette méthode. Avec les définitions formelles, elles ne sont pas évidentes, il faut un peu s'habituer à ça, mais une fois qu'on a l'habitude de travailler avec, vous verrez que, finalement, ce n'est pas si compliqué. Si jamais vous avez des questions, comme d'habitude, n'hésitez pas à aller voir la FAQ.

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