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Analyse Terminale

Limites de Suites

Ce cours porte sur les méthodes de calcul pour les fonctions rationnelles, c'est-à-dire les polynômes divisés par d'autres polynômes. La technique utilisée est la même que pour les polynômes, on factorise par le terme de plus haut degré. Par exemple, si nous avons la suite Vn égale à 4n² sur n plus 1, nous identifions le terme de plus haut degré (2), et donc nous factorisons par n² en haut et par n en bas. Les n se simplifient et nous obtenons 4n au numérateur divisé par 1 plus 1 sur n qui tend vers 1. Ainsi, nous levons l'indétermination et constatons que par quotient, Vn tend vers plus infini.

En outre, il existe trois cas possibles pour les fonctions rationnelles. Si le degré du polynôme au numérateur est strictement supérieur au degré du polynôme au dénominateur, celui-ci l'emporte et la limite tend vers plus infini. Si le degré du dénominateur est strictement supérieur au degré du numérateur, le dénominateur l'emporte et la limite tend vers 0. Si les degrés des polynômes au numérateur et au dénominateur sont égaux, la limite tend vers le rapport des coefficients dominants des deux polynômes.

Par exemple, si nous prenons la suite Un égale à 3n² plus 2n plus 1 sur 4n² plus n plus 4, nous factorisons par le terme de plus haut degré (n²) en haut et en bas, ce qui nous donne 3 plus 2n plus 1 sur n² au numérateur, et 4 plus 1 sur n plus 4 sur n² au dénominateur. Finalement, la limite tend vers 3 quarts, le rapport des coefficients dominants.

En conclusion, dès qu'il s'agit d'une fonction rationnelle, nous nous trouvons systématiquement dans l'un de ces trois cas.

Alors on va regarder maintenant les méthodes pour une fonction rationnelle, c'est-à-dire un polynôme divisé par un autre polynôme. En fait c'est exactement la même technique que pour le polynôme lui-même, on va factoriser par le terme de plus haut degré. Donc là dans l'exemple, la suite qu'on va étudier c'est la suite Vn égale 4n² sur n plus 1, donc c'est bien un polynôme divisé par un autre polynôme, ce qu'on appelle une fonction rationnelle, et donc j'identifie le terme de plus haut degré, ici c'est degré 2, donc on factorise par n², en bas c'est degré 1, je factorise donc par n, donc les n se simplifient en partie, n² sur n il reste n, et donc j'ai 4n au numérateur divisé par 1 plus 1 sur n qui tend vers 1, donc là je lève mon indétermination et je vois que par quotient ça tend vers plus infini. Donc voilà, conclusion, Vn tend vers plus infini. Maintenant si on regarde un peu plus les différents cas de figure, qu'est-ce qui peut se passer ? Donc je répète, on s'intéresse au cas des fonctions rationnelles, c'est de la forme Pn sur Q2n, donc il y a trois cas de figure, soit le degré de P est strictement supérieur à degré de Q, là c'est un combat en fait entre P et Q, P l'emporte, il est de degré supérieur, donc cet infini là va être plus fort que l'infini de Q, et donc, et c'est exactement ce qu'on a vu ici, Qn va tendre vers plus infini. Si degré de Q est strictement supérieur à degré de P, c'est l'inverse, c'est Q qui l'emporte, l'infini là est plus grand, et donc la limite de Un ça va être 0. Il y a le troisième cas, degré de Q égale degré de P, les deux en fait sont de la même force on va dire, et donc du coup ça va être le rapport des deux coefficients dominants, on va tendre vers un réel qui va être Q sur P, où Q c'est le coefficient dominant de Q, et petit P le coefficient dominant de P, donc si on fait un petit exemple pour voir, si je considère la suite Un égale 3n² plus 2n plus 1 sur 4n² plus n plus 4, je factorise par le terme de plus degré, n², en haut et en bas, donc ça se simplifie, il me reste 3 plus 2n plus 1 sur n² au numérateur, et 4 plus 1 sur n plus 4 sur n², évidemment ça tend vers 3, ça tend vers 4, donc finalement ça tend vers 3 quarts, le rapport des coefficients dominants. Donc voilà, c'est vraiment les trois cas de figure que vous pouvez rencontrer, c'est vraiment systématique, dès qu'on a une fonction rationnelle, on sera forcément dans un de ces trois cas. Voilà pour la méthode sur les fonctions rationnelles.

Forme indéterminée 2 : la quantité conjuguée

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