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Analyse Terminale

Continuité

La continuité en un point se définit comme suit : une fonction f est continue en un point a si et seulement si la limite finie de f(x) lorsque x s'approche de a est égale à f(a). Si cette condition est remplie pour tous les points d'un intervalle donné, on peut alors dire que la fonction est continue sur cet intervalle.

Une façon de comprendre cette notion de limite finie en un point est d'imaginer que l'on souhaite observer le comportement de la fonction lorsque x se rapproche de la valeur a. La fonction admet une limite l lorsque x tend vers a si, pour n'importe quel intervalle de taille donnée, il est possible de trouver un intervalle autour de a dans lequel les valeurs de la fonction sont toutes comprises dans l'intervalle initial.

En résumé, la continuité d'une fonction signifie que sa limite finie est égale à la valeur en ce point.

Sur la continuité, on va commencer tout d'abord par revenir à ce que c'est la définition de la limite finie en un point. On va essayer de clarifier ça et puis voir surtout ensuite en deuxième partie pas mal d'exemples de discontinuité pour que vous compreniez bien la différence entre une fonction discontinue et une fonction continue. Alors on va commencer, la définition très informelle de la continuité c'est une fonction sera continue quand, si on la trace, on ne doit pas lever le stylo. Donc si je peux la tracer sans lever le stylo, c'est continue. Définition formelle pour la continuité en un point, la fonction f va être continue en un point a précis si et seulement si la limite finie de f2x quand x s'approche de a, c'est f2a. Et si on a la chance d'avoir un intervalle où c'est vrai pour tous les points de l'intervalle, on dira que c'est continue sur i l'intervalle. Très bien, ça c'est assez basique, je vais vous faire un rappel de définition de ce que c'est la limite finie en un point. Alors là c'est vraiment un rappel mais je veux insister bien pour montrer quand même ce que ça veut dire géométriquement. On a donc la limite finie en un point, c'est quand on a envie de voir ce qui se passe quand x s'approche de la valeur bleue ici, que je vais appeler a. Est-ce que j'ai bien la fonction qui s'approche de l, ma valeur orange ici ? Donc f va admettre une limite l quand x s'approche de a, si et seulement si. On va sélectionner un couloir de taille arbitraire que je choisis. Disons que j'en prends un comme ça. Pour n'importe quel couloir orange, j'aurai une limite finie. Si je suis capable de trouver un couloir bleu comme ça, tel que toutes les valeurs de la fonction pour les x dans ce couloir bleu soient bien comprises dans le couloir orange. Là par exemple c'est un énorme fail, un total fail. J'ai plein de valeurs ici pour les x de ce couloir bleu comme ça, plus des valeurs là qui ne sont pas du tout dans le couloir orange. Donc très mauvais choix de couloir bleu mais j'aurai un problème que si c'est impossible de trouver au moins un couloir. Celui-là ce n'est pas un bon choix mais je pourrais peut-être en chercher un autre. Donc ça comme je disais ça ne marche pas. Si j'en prends un qui est peut-être plus fin, je risque de réussir à caser un peu tout. En effet avec ce couloir là, je vois que si je prends ce couloir bleu pour toujours le même couloir orange qui lui est fixé, j'ai trouvé un delta autour de A si vous voulez tel que l'ensemble des valeurs de la fonction dans cet intervalle bleu donc pour tous les x ici, tous ces x là quand vous regardez ce que ça donne sur la fonction, le tout est toujours dans la zone orange. Voilà, si je suis capable de faire ça pour n'importe quelle taille de couloir orange, ça, ça veut dire avoir une limite finie. La continuité c'est quoi ? C'est quand la limite finie c'est f de A justement.

Déf formelle

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