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Révisions Maths lycée

Analyse Terminale

Fonctions et Limites

Dans ce cours, nous nous intéressons aux calculs de limites faisant intervenir la fonction ln (logarithme népérien). Le principe est de factoriser par le terme prédominant pour simplifier les limites. Pour les limites avec ln, nous essayons de les ramener à des limites usuelles sur le logarithme. 
Voici trois exemples : 
1. Limite de 2ln2x²-5ln2x±1 : En factorisant par ln2x², nous obtenons une limite qui tend vers l'infini. 
2. Limite de ln(racine de x) / ln(2x) : En utilisant les propriétés du logarithme, nous transformons la limite en xlnx/ln2 + lnx. Après une factorisation par ln x, nous obtenons une limite de 1.5. 
3. Limite de (x-1)²ln(x-1) : En posant grand x = x-1, nous ramenons la limite à une limite usuelle de x²lnx. Puisque cette limite tend vers 0, nous obtenons que la limite recherchée est égale à 0. 
Ces exemples illustrent comment calculer des limites avec le logarithme.

On va s'intéresser maintenant à des calculs de limites faisant intervenir la fonction ln, donc des limites plus ou moins compliquées, d'ailleurs, plutôt compliquées pour cette méthode. Le principe va être souvent le même pour les limites, c'est que quand on remarque que c'est un terme très dominant, on essaie de factoriser par ce terme plus dominant. Donc ça va être un peu ça le principe, et sinon, avec le ln, on va essayer de se ramener à des limites usuelles, sur le logarithme. On va regarder ça au cas par cas. Première limite, là, c'est 2ln2x²-5ln2x±1 La technique, c'est celle que je viens d'évoquer, on factorise par le terme prédominant, donc là c'est ln2x², donc je factorise par ln2x², ça me fait 2, 5 sur ln2x, c'est 1 sur ln2x², qui tendent toutes vers 0, donc je vois que ça fait plus l'infini fois 2, finalement la limite, c'est plus l'infini. Ensuite, un peu moins évident, on a du ln de racine de x sur ln de 2x, en plus l'infini. Là, forme indéterminée a priori, donc on va essayer de se ramener, de factoriser par le terme prédominant, il ne va rien se passer, parce qu'il n'y a qu'un seul terme au numérateur et qu'un seul terme au dénominateur, l'idée c'est d'utiliser les propriétés du logarithme, c'est ln de AB qui vaut ln de A plus ln de B, et ensuite je vais essayer de transformer ce ln de x, en fait ce qu'il faut c'est qu'il y en ait deux identiques, là ce n'est pas encore le cas, par contre ce que je sais c'est que racine de x c'est x puissance 1,5, et j'utilise encore les propriétés du logarithme pour dire que ln de x puissance 1,5 ça fait 1,5 de ln de x. Et donc là je vais être beaucoup mieux, donc je factorise par 1,5, x ln de x sur ln de 2 plus ln de x, et là je peux réutiliser la technique précédente où je factorise par le terme prédominant, et là ça va très bien marcher, je factorise par ln de x, et ensuite je simplifie, facteur de 1 plus ln de 2 sur ln de x, qui tend vers 0, donc finalement cette fraction là, elle tend vers 1, donc le tout tend vers 1,5. Donc là vraiment la technique que j'ai utilisée, c'est les propriétés sur le logarithme, ln de a b égale ln de a plus ln de b, et ln de a puissance n égale n ln de a. Donc ça tend vers 1,5. Ensuite, la limite en 1 de x moins 1 au carré fois ln de x moins 1. Alors là, ça fait 0 fois ln de 0, donc forme indéterminée encore, là l'astuce c'est de penser à ma limite usuelle, qui est x ln de x, ça ressemble à du x ln de x, je vois du x moins 1, bon il y a un carré, mais ça me fait penser à utiliser ça. Donc moi je vais poser grand x égale x moins 1, on préfère se ramener toujours à des limites en 0 plus infini, parce que ce sont mes limites usuelles, donc quand x tend vers 1, évidemment grand x tend vers 0, on se ramène à une étude de limite x moins 1 au carré fois ln de x moins 1, c'est du x carré ln de x. Et ça en fait, je peux séparer ensuite le x, et je dis que ça fait x fois x ln de x, et ça, c'est une limite usuelle, x ln de x, je sais que ça tend vers 0. Donc ça fait 0 fois 0, donc par composition et produit, j'obtiens que ma limite recherchée est égale à 0. Donc voilà pour ces 3 exemples un peu typiques pour calculer des limites sur, avec le logaret. Voilà, si vous avez la moindre question, toujours, comme toujours, allez voir dans la FAQ.

Ln : Limites

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