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Divisibilité et Congruences

Dans cette vidéo, l'exercice consiste à déterminer pour quelles valeurs entières de n (différentes de 4) la fraction 35/(n-4) est un nombre entier. Le piège réside dans le fait que n est un entier relatif et non un entier naturel ou positif.

Pour résoudre cet exercice, il est important de rappeler que l'on travaille dans l'ensemble Z des entiers relatifs. On cherche donc les diviseurs de 35 pour trouver les valeurs possibles de n-4.

Les diviseurs de 35 sont : 1, 5, 7 et 35. On doit également prendre en compte les valeurs négatives : -1, -5, -7 et -35. Puisque n doit être différent de 4, on exclut cette valeur de nos réponses possibles.

Donc si n-4 appartient à l'ensemble des diviseurs de 35, n doit prendre les valeurs 5, 9, 11 et 39 pour les quatre premiers diviseurs, et les valeurs -31, -3, -1 et 3 pour les quatre derniers diviseurs.

En résumé, les valeurs de n pour lesquelles la fraction 35/(n-4) est entière sont 5, 9, 11, 39, -31, -3, -1 et 3.

Il est essentiel de faire attention au contexte et à la nature des variables lors de la résolution de ces types d'exercices pour éviter les erreurs et maximiser les points obtenus.

Un exercice assez court mais assez classique, ce genre de petites questions que vous pouvez retrouver potentiellement dans un DS, qu'il faut savoir faire. Donc on vous donne un entier n relatif, différents de 4, pour quelle, potentiellement au pluriel, valeur de n, la fraction 35 sur n-4 va-t-elle être entière ? Le piège absolu, parce que la question en soi n'est pas très difficile, le piège, là où on peut démonter 50% des élèves et leur mettre potentiellement un 0, c'est que n est un entier relatif. Quand est-ce que la fraction est-elle entière ? Encore une fois, on ne dit pas entière positive ou entière naturelle, on parle d'entier relatif. Donc pour moi, tout ça, c'est plus une petite vidéo pour vous avertir de ce problème, vous avertir de ce piège potentiel. Attention, on est dans Z, c'est là-dessus que je vois des élèves se planter et perdre des points. Donc nous, ce qu'on veut, maintenant qu'on est bien conscient de dire attention, c'est relatif, donc établir la nature de la variable, est-ce naturelle ou relative, on veut n-4 divise 35. Dans ce cas, étudions les diviseurs de 35. J'appelle grand D un 10-35, l'ensemble des diviseurs de 35. Il y a donc 1, 5, 7, 35. Bon, il y a aussi moins 35, moins 7, moins 5, moins 1. Remarquez que je ne me suis pas pris la tête pour les négatifs, j'ai pensé aux positifs et puis j'ai écrit la liste ensuite. Maintenant, c'est fini. Maintenant que je n'ai pas oublié ça, c'est bon pour l'exercice. Tout ce qu'il faut, c'est toujours vérifier qu'à la toute fin, comme n est différent de 4, je n'inclue pas dans les réponses 4, ça serait une erreur, puis on sera bon. Si n-4 appartient à l'ensemble des diviseurs de 35, appartient à ça, c'est-à-dire que n-4 doit être égal à 1, n-4 égal à 5, n-4 égal à 7. En fait, ça veut dire que je veux que n soit égal à tous ces nombres plus 4. Donc 5, 9, 11, 39 pour les 4 premiers, moins 31, moins 3, moins 1, 3 pour les 4 derniers. Il n'y a pas 4 dans l'ensemble. Je suis bon, j'ai trouvé l'ensemble des solutions entières. Voilà, j'espère que ça vous a aidé. Je vous retrouve pour une prochaine vidéo.

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