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Limites de Suites

Dans cette vidéo, nous abordons les limites de suite mathématique. Une suite est considérée comme ayant une limite lorsque ses valeurs tendent à se rapprocher d'une certaine valeur fixe à mesure que l'indice de la suite augmente. Dans l'exemple donné, une suite est tracée avec un graphique montrant comment les valeurs se rapprochent progressivement d'une valeur "plateau" à mesure que l'indice augmente. Cependant, pour être précis en mathématiques, nous devrons utiliser des définitions formelles, qui peuvent sembler complexes et effrayantes au début. Le professeur promet de nous familiariser et de traduire ces définitions, en mettant toujours l'accent sur les graphiques pour illustrer les concepts. Il compare également ce processus à l'étude de la dérivée en première année, où nous avons d'abord appris une définition complexe avant de passer à des tables de dérivées classiques pour faciliter les calculs. De même, pour les limites de suite, nous aurons des définitions formelles, mais nous aurons également des tableaux de limites classiques à apprendre. Les principaux points du cours seront les définitions des limites tendant vers l'infini, moins l'infini et une valeur réelle fixe, ainsi que la propriété d'unicité des limites. Il y aura aussi une partie sur les limites de référence et les opérations sur les limites, avec des tableaux à connaître par cœur, et une section bonus sur les limites des suites géométriques. En ce qui concerne la méthode, il y aura quatre approches principales : l'application de la définition formelle dans certains exercices, l'utilisation des limites de référence et des opérations pour prédire certaines limites, le travail supplémentaire nécessaire pour d'autres cas, et enfin un rappel sur la somme des termes d'une suite géométrique et quand cette somme peut avoir une limite.

Bienvenue pour cette vidéo d'introduction sur les limites de suite. Quand j'étais à votre place, on m'aurait demandé, à ton avis, c'est quoi une limite de suite ? Je pense que j'aurais répondu à un truc du genre « Tu sais, c'est quand une suite ça monte et à un moment on voit que ça se colle. » Et en fait, ça, c'est pas bête du tout. C'est une très bonne intuition et c'est loin d'être ridicule. Donc si je vous montre un petit exemple, j'ai tracé une suite ici, qui part de n égale 0 là-bas, tout à gauche, et qui remonte jusqu'à n égale 16 derrière moi. J'ai tracé une suite où on se rend compte que les valeurs de la suite ont tendance, plus n augmente, à venir se coller ou à être bloqué un peu par un genre de plateau et à être de plus en plus proche de cette valeur plateau. Cette valeur plateau, ça a l'air d'être 1, 2 ici, avec l'échelle du graphe derrière moi. Et on a l'impression que plus n augmente, plus je suis collé à ce plateau et limite ça devient indiscernable. Donc à part si à partir de n égale par exemple 17, ça commence à repartir et qu'il y a un petit piège, je pourrais dire, je sens ici qu'il y aura un genre de limite et que je pense que cette suite un va tendre vers une limite 2. C'est bien les intuitions comme ça. Malheureusement les matheux veulent qu'on soit plus précis, ça sera la première partie de ce chapitre. Il faudra qu'on apprenne à utiliser les définitions les plus formelles. Alors définition plus formelle, ça sera des trucs assez moches honnêtement, avec des écritures, avec des grands A, et si on dépasse les grands A alors on tend vers plus infini, si on est coincé dans un petit couloir epsilon, je sais pas quoi, on converge. Ça sera un peu moche, ça fait un peu peur. Des écritures un peu nouvelles peut-être pour vous. Et c'est vrai, c'est laid, mais je vais essayer mon boulot, ça va être d'essayer de vous mettre à l'aise avec ces trucs-là, essayer de les traduire un peu et de surtout toujours se référer au dessin qu'il y a derrière. Il faudra maîtriser bien sûr, il faudra connaître la définition, mais à terme on va s'en débarrasser. Un petit parallèle que je voulais faire c'est, en première, vous avez étudié la dérivée, et au début, comme je vous disais, la dérivée, on parlait beaucoup beaucoup en termes de définition du taux d'accroissement. Le taux d'accroissement c'était ce truc-là, le taux d'accroissement c'était une limite quand X tend vers A d'un tour, et en fait on vous dit à côté avec un dessin que c'était une corde, je sais pas quoi. On fera ça d'ailleurs en révision dans le chapitre dérivation, mais c'était un peu moche, c'était beaucoup de calcul un peu laborieux, et en fait assez vite, heureusement pour vous, on vous a dit en fait ce qu'on va faire c'est plutôt utiliser une table comme ça, de trucs à apprendre, il n'y aura plus à s'embêter avec le taux d'accroissement, il y aura juste à apprendre une table de dérivée classique. Et ça a sauvé votre vie, c'était beaucoup plus simple, le monde était beaucoup plus heureux et simple pour vous. Pour les limites de suite, ça sera un peu la deuxième partie de ce sujet, on aura d'un côté les définitions formelles, mais après assez vite on aura aussi un tableau de limites classiques à connaître, ça sera un peu la même chose. Donc au final, quelle est l'ensemble des choses qu'il faudra connaître ? On aura trois points de cours principaux, c'est-à-dire la définition de la limite en plus infini, en moins infini, en un point L réel, et une propriété d'unicité de la limite. Ensuite on aura une deuxième partie sur les limites de référence et les opérations sur les limites qui sont possibles, ça sera en gros une présentation des tableaux que vous aurez à connaître par cœur, et une troisième partie, un peu bonus, sur les limites des suites géométriques que vous avez faites en première. En termes de méthode, il y en aura quatre principales qu'on a retenues. La première c'est comment appliquer la définition formelle dans certains exos, donc cette définition un peu moche avec les epsilon, les grand A, qu'il faudra maîtriser pour ces exos-là. En deuxième et en troisième, on verra en fait, des fois il y a certaines limites qui seront prédictibles grâce aux limites de référence et aux opérations qu'on aura vues précédemment, des fois malheureusement il faudra faire un petit peu plus de travail, et ce sont des cas qui arrivent assez souvent, donc j'ai envie que vous les connaissiez bien par cœur, c'est ce qu'on va présenter en méthode 2, méthode 3. Enfin, en tout dernier, on verra un petit rappel sur la somme des termes d'une suite géométrique, et on verra quand est-ce que ce genre de somme peut avoir une limite ou pas. Voilà, c'est la fin de cette vidéo, n'hésitez pas à poser des questions dans la FAQ si vous avez besoin, et sinon, je vous retrouve dans la prochaine vidéo juste après.

Intro Suites et limites

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