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Théorèmes de Convergence

La démonstration de ce théorème consiste à revenir à la définition de la notion de tendre vers l'infini pour une suite. Nous partons de l'hypothèse que la limite de Un tend vers l'infini. À partir de là, nous pouvons conclure que pour tout nombre positif A, il existe un certain rang N tel que tous les éléments de la suite à partir de ce rang soient plus grands que A.

En utilisant le fait que Vn est toujours plus grand que Un, nous pouvons utiliser ce même rang N pour conclure que, pour tout N plus grand ou égal à N, Vn est plus grand ou égal à A.

Ainsi, nous avons démontré que pour tout nombre positif A, il existe un certain rang N tel que pour tout N plus grand ou égal à N, Vn est plus grand ou égal à A. Cette correspond à la définition de la divergence vers l'infini.

Cette démonstration permet de se passer des démonstrations utilisant des notions plus complexes et facilite l'utilisation du terrain de comparaison dans les exercices de ce type.

Pour la démonstration, je vous ai dit tout à l'heure que l'avantage de ce théorème c'est qu'on n'aura plus à utiliser des démonstrations en epsilon, en grand A, etc. Malheureusement, pour le démontrer, il faut faire ça, c'est-à-dire qu'il faut revenir un peu à la définition. J'ai mis un petit rappel ici de qu'est-ce que c'est tendre vers plus infini pour une suite. Et on va démontrer ça, c'est assez simple en fait. On traduit, première étape, donc on nous dit si limite de U n égale plus infini, alors quelque chose. Traduisons le limite de U n tendre vers plus infini. Si je vous dis limite de U n en plus infini égale plus infini, je peux en déduire que pour un A positif quelconque, je sais qu'il existe un certain rang, un certain grand N appartient à N, tel que pour tous les éléments de la suite au-dessus de ce grand N, ma suite finit par être plus grande que le grand A. Très bien. Or, quel que soit N, on sait que V n est plus grand que U n, donc je sais qu'il existe... Je peux utiliser ce grand N, donc je peux conclure que quel que soit N plus grand ou égal à grand N, si vous voulez, je vais chercher cette égalité et je la combine. Quel que soit N plus grand ou égal à grand N, je la combine avec celle-ci. Je peux conclure que V n est plus grand ou égal à U n, plus grand ou égal à A. Donc je me retrouve avec un A quelconque positif, tout bêtement à dire quel que soit N plus grand ou égal à N, V n plus grand ou égal à A. C'est la définition de la divergence en plus de l'infini. Tout bêtement, si vous voulez, si je réécris un peu de manière globale, pour ce A positif, on a un grand N tel que quel que soit N plus grand ou égal à ce grand N, V n plus grand ou égal à A. Je suis passé par le fait que V n est plus grand que U n, mais c'est ça ma conclusion, et si vous réfléchissez bien à ça, c'est exactement la définition de la divergence vers plus infini qui est au-dessus. Parfait, c'est torché. N'hésitez pas à poser des questions dans la FAQ, bien sûr, si vous avez des doutes, mais c'est l'idée de cette démonstration un peu courte, très efficace, et la faire une fois ici vous permet de ne plus jamais utiliser ces grands A, ces petits epsilon ou ces grands A dans tous les exercices où vous pourrez utiliser le terrain de comparaison.

Théorème de comparaison - démonstration

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