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Continuité en un Point
Dans cette transcription vidéo, nous abordons la manière de trouver la dérivée d'une fonction qui présente différentes expressions sur différents intervalles. Nous constatons que cette fonction n'est pas nécessairement dérivable, bien qu'elle puisse être continue. Par exemple, pour la fonction f qui est définie par trois expressions selon trois intervalles, nous examinons sa continuité. Tout d'abord, pour qu'une fonction soit continue, il est essentiel qu'elle soit au moins définie. Si ce n'est pas le cas, il est inutile de poursuivre. Dans ce cas-ci, elle est bien définie, notamment grâce à la deuxième expression qui s'applique lorsque x est supérieur ou égal à 3. En dehors des limites entre les intervalles, f est bien continue de moins l'infini à 3, de 3 à 5, et de 5 à plus l'infini. Nous devons donc nous concentrer sur la continuité aux points 3 et 5, qui correspondent aux extrémités de ces intervalles. Étant donné qu'il y a deux expressions différentes à gauche et à droite de 3, nous examinons la limite de x approchant 3 avec x inférieur à 3 et la limite de x approchant 3 avec x supérieur à 3. Il est essentiel que ces limites soient égales et égales à f de 3 pour garantir la continuité. Lorsque x approche 3 avec x inférieur à 3, nous utilisons la première expression, soit moins x plus 6, ce qui donne 3 en approchant 3 par la gauche. Lorsque x est supérieur à 3, cela donne également 3. Par ailleurs, f de 3 équivaut à 3. Ainsi, toutes les conditions requises pour assurer la continuité de la fonction en 3 sont satisfaites. Nous avons f de 3 égal à 3, la limite de gauche et de droite de f est bien égale à f de 3. Ensuite, nous passons au deuxième point, qui est 5. Nous faisons exactement la même démarche. Nous examinons la limite de x approchant 5 avec x inférieur à 5, la limite de x approchant 5 avec x supérieur à 5, et nous constatons que les expressions ne sont pas les mêmes dans les deux cas. L'une donne 7, l'autre donne 0, et f de 5 lui-même vaut 0. En réalité, il n'était même pas nécessaire de vérifier cela. Dès lors que la limite de droite n'est pas égale à la limite de gauche, il est évident que la fonction ne peut pas être continue. Ainsi, la fonction n'est pas continue en 5. Voilà, nous avons abordé la continuité. Dans les prochaines étapes, nous examinerons également la dérivabilité, ce qui sera traité plus en détails dans les prochaines méthodes.
