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Analyse Terminale

Continuité

Le prolongement par continuité est utilisé dans les cas où une fonction n'est pas définie en un point, mais la limite de la fonction existe et est finie. Dans ce cas, on peut prolonger la fonction en ce point en posant la valeur de la limite comme valeur de la fonction en ce point. 

Un exemple de ce type de prolongement est la fonction f(x) = x/x. Cette fonction n'est pas définie en 0 à cause du dénominateur, mais on peut la prolonger par continuité en posant f(0) = 1. Ainsi, on obtient une fonction définie et continue en tout point.

Dans l'exercice présenté, on nous propose la fonction f(x) = x sin(1/x) pour x différent de 0, avec f(0) = 0. On veut vérifier si cette fonction est bien le prolongement par continuité de la fonction donnée. Pour cela, on observe le graphique de la fonction et on constate qu'elle semble se rapprocher de 0 en 0. On peut conjecturer que la fonction est continue en 0. Pour le prouver, on utilise une astuce en encadrant la fonction sin(1/x) entre -1 et 1. Ensuite, on multiplie par la valeur absolue de x pour obtenir une expression encadrée entre 0 et x. Quand x tend vers 0, cette expression tend vers 0, ce qui nous permet d'utiliser le théorème d'encadrement pour prouver que la limite de la fonction est bien 0. Ainsi, on démontre que la fonction f est continuellement 0, ce qui confirme que c'est bien un prolongement par continuité.

En conclusion, le prolongement par continuité est une technique utilisée pour étendre une fonction à un point où elle n'est pas définie, en posant la limite de la fonction comme valeur en ce point. Il est important de vérifier la continuité de la fonction prolongée en utilisant des méthodes telles que l'encadrement et le théorème d'encadrement.

On va parler maintenant du prolongement par continuité, qui est un point très important. Alors quand est-ce qu'on utilise le prolongement par continuité ? Il faut plusieurs conditions. La première, c'est que si on parle du prolongement par continuité en un point, que je vais appeler A ici, ce point là, pour cette fonction f, n'est pas défini en ce point, donc ça c'est l'hypothèse de départ, elle n'est pas définie parce qu'il y a une valeur interdite par exemple, ou pour d'autres raisons, et que la limite quand x t'enverra existe et est finie. Donc là qu'est-ce qu'on peut faire ? On peut poser, on va dire qu'on va prolonger f en A par continuité, et on va poser f de A qui est égal à la limite quand x t'enverra de f de x. Et donc là on crée une fonction qui alors définit et continue en A. Alors exemple, dans quelques cas ça arrive en fait, j'ai parlé de valeur interdite, mais en fait les valeurs interdites, souvent on a une limite vers plus ou moins l'infinie, typiquement 1 sur x, 1 sur x t'enverre plus ou moins l'infinie. Donc là je ne peux pas faire de prolongement par continuité. Par contre, l'exercice qu'on va voir dans celui-là c'est possible, mais si on prend des exemples même encore plus simples, je vais vous prendre un exemple un peu bête, mais je vais poser f de x égale x sur x. Vous allez me dire, ça ça fait 1 en fait, c'est la fonction constante égale à 1. En fait, pas exactement, parce que le problème de cette fonction, c'est qu'elle n'est pas définie en 0. Elle n'est pas définie en 0 à cause du dénominateur. Donc là si je la trace, à la calculatrice vous n'allez pas voir la différence, parce qu'il y a juste un point où elle n'est pas définie, et ce point c'est quoi ? C'est 0. En fait en 0 elle n'est pas définie, donc comme c'est juste un point, sur la calculatrice vous ne verrez pas, vous verrez une droite. Mais en fait, en toute rigueur, en 0 elle n'est pas définie. Par exemple, ce que je vais faire, évidemment, c'est que je vais pouvoir la prolonger par continuité. Je vois que la limite à gauche est la limite à droite. En fait, dans les deux cas, ça tend vers 1, évidemment, parce que c'est la fonction constante égale à 1. Donc je vais pouvoir prolonger f par continuité et dire, je pose f de 0 égale 1. Et là j'aurai bien une fonction qui est définie et continue. Voilà, c'est un exemple un peu très très simple pour qu'on voit ce qu'il se passe, mais voilà, c'est exactement ce qu'on va faire dans cet exercice là. Donc, la fonction proposée, c'est celle-ci. Et là, le prolongement par continuité est déjà proposé. On nous propose f de 0 égale 0. Et pour toutes les x différentes de 0, on a f de x égale à x sinus 1 sur x. Donc là, elle n'est pas définie en 0, enfin, si on prenait que ces expressions, on a un problème de définition en 0, à cause du 1 sur x, qui nous interdit de prendre la valeur 0. Donc là, on va vérifier est-ce que cette fonction est bien continue, proposée telle qu'elle est. Est-ce que c'est bien le prolongement par continuité qu'on a fait ? Donc si on a tracé la calculette déjà, ça fait un sinus dont l'amplitude se réduit et qui oscille de plus en plus vite. Et plus on zoom, plus on verra ça. Donc là, on voit effectivement que ça a l'air de se rapprocher vers 0, même si elle n'est pas définie. Donc on peut conjecturer, au vu du graphique, que cette fonction est bien continue en 0, parce qu'elle vaut 0 en 0, ça on l'a posé, et il semble que la limite de f de x quand x tend vers 0, à droite et à gauche, soit égale à 0. Donc du coup, elle a l'air continue. On n'a rien prouvé, donc on va le démontrer. Alors, déjà petite astuce, quand on demande de démontrer des limites avec des fonctions qui contiennent du cosinus ou des sinus, il faut penser vraiment théorèmement à l'encadrement, parce qu'un sinus c'est un cosinus, et je ne peux faire que ça, c'est aussi entre moins 1 et 1, ça n'a jamais de limite, donc je ne peux que l'encadrer. Donc il faut vraiment se dire, très bien, j'encadre mon sinus 1 sur x, peu importe ce qu'il y a dedans, c'est un sinus justement, donc je l'encadre entre moins 1 et 1. Alors pour des raisons de simplicité, pour ne pas avoir à dire, oui, est-ce que je multiplie par quelque chose de positif ou négatif, je vais prendre les valeurs absolues, ça me suffira. Donc c'est à dire que la valeur absolue, elle est plus petite que 1, donc quand je prends la valeur absolue, je multiplie par x, la valeur absolue de x sinus 1 sur x, c'est compris entre 0 parce que c'est une valeur absolue, et x, parce que le sinus de 1 sur x lui-même est plus petit que 1. Et ce qui est bien, c'est que quand x tend vers 0, cette expression là tend vers 0, donc d'après le théorème d'encadrement, j'ai bien l'existence de la limite et je vais trouver que ça vaut 0. Le monde bipane et le théorème d'encadrement me donnent les deux informations à la fois, le fait que ça converge et en plus je trouve ma limite. Donc du coup j'ai bien la valeur absolue qui tend vers 0, et si la valeur absolue tend vers 0, ça veut dire que la fonction elle-même, sans valeur absolue, tend aussi vers 0. Donc voilà, j'ai bien prouvé que ma fonction f est continuellement 0, donc c'était bien un prolongement par continuité qui avait été proposé par l'exercice. Donc voilà pour cette méthode, pour le prolongement par continuité. Si vous avez des questions, n'hésitez toujours pas à les voir dans l'FAQ. Voilà !

Prolongement par Continuité

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