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Révisions Maths lycée

Analyse Terminale

Continuité

Le cours concerne la démonstration de la continuité et de la dérivabilité d'une fonction f(x), qui est une transcription d'une vidéo. 

La première partie du cours explique le potentiel problème de valeur absolue lorsque x=0, car la valeur absolue n'est pas dérivable en 0. Cependant, la fonction 1+x n'est jamais égale à 0, ce qui signifie qu'il n'y a pas de problème de définition et le quotient des deux fonctions est donc continue.

Ensuite, le cours mentionne que la fonction semble également dérivable, sauf en x=0. Cela est démontré en montrant que la fonction est dérivable sur tous les autres points.

Dans la partie suivante, il est demandé de déterminer l'expression de la fonction en fonction du signe de x. Une vérification rapide est effectuée au point x=0 pour confirmer la continuité de la fonction.

Ensuite, il est justifié que la fonction est dérivable partout sauf en x=0. Cela est démontré en calculant les nombres dérivés en x=0.

Finalement, le cours conclut que la fonction est bien continue et dérivable.

Dans ce nouvel exercice, il y a une valeur absolue, donc un potentiel problème au niveau de x égale 0 parce qu'on sait que la valeur absolue elle-même en tout cas n'est pas dérivable en 0. Donc c'est parti, on va regarder et justifier qu'elle est continue sur R. Petit 1. On a d'ailleurs 1 plus x, elle est définie sur R, donc ça c'est donné par l'énoncé, on peut le vérifier. Parce que, quel que soit x, 1 plus x est super égal à 1 plus super strict à 0. Alors l'absolue de x est positive, donc ce truc n'est jamais égal à 0, donc il n'y a pas de problème de définition. Le quotient est donc continue parce que deux fonctions continues en quotient donnent une fonction continue. Ça c'est bien, tracer la fonction f sur une calculatrice, voilà, ça donne ça en gros. Donc c'est quelque chose qui a l'air de se coller vers 1 en plus infini, vers moins 1 en moins infini, et qui a l'air assez continue et assez dérivable si on prend l'intuition de continue c'est quand je ne lève pas le stylo. Bon ça on l'a démontré il y a une seconde de toute façon. Et dérivable c'est, est-ce qu'il y a l'air d'avoir des accroches, est-ce qu'il y a l'air d'avoir des moments où il y a des ruptures de pente ? Non, ça a l'air assez lisse, notamment au point 0 qui peut nous poser problème, qui pose problème pour la valeur absolue unique. Mais ici la valeur absolue dans cette fonction, donc au dénominateur de cette fonction, n'a pas l'air de poser trop de problème. Et maintenant le but de l'exercice ça va être de le démontrer. Donc le question est donc continue. Petit b, pourquoi la fonction semble-t-elle dérivable ? Même réponse que l'exercice qu'on a fait avant, en 0. Donc peut-être qu'elle n'est pas dérivable parce qu'il faut zoomer et que ça ne se voit pas, mais on suppose qu'elle sera dérivable en ce point. Parce qu'elle est clairement dérivable dans les autres points. Elle est dérivable sur tous les points partout sur R, uniquement parce que x est dérivable sur R, et 1 plus x en valeur absolue est dérivable partout sauf en 0. Donc sur tous les points qui ne sont pas 0, on sait déjà qu'elle est dérivable. Après le problème c'est juste 0 et puis là on intuitionne, on a l'intuition qu'elle sera dérivable en 0 également. Petit c, déterminer l'expression de la fonction suivant le signe de x. Oui bon ça c'est pas très compliqué comme... Très bien. Juste une petite vérification rapide. Qu'est-ce qui se passe au point 0 ? En 0, f de 0 de ce côté, donc je vais mettre un... Ici ça vaut 0, et ici quand x tombe vers 0 ça fait 0 sur 1, ça fait aussi 0, donc on est bien continu. On l'avait déjà prouvé mais on vérifie bien que c'est continu. C'est un petit contrôle pour voir si on ne s'est pas gouré dans l'expression. Si on voit que c'est pas continu quand j'arrive au point 0 de chaque côté, si on ne trouve pas la même valeur, alors il faut se dire qu'on a peut-être eu un problème parce qu'on a déjà démontré qu'elle était continue. Donc il y a peut-être eu une erreur dans l'écriture. Là il n'y en a pas, c'est très bien. Petite idée, justifier qu'il y a des dérivables partout sauf en 0. Donc c'est ce que je disais il y a une seconde, x donne x dérivable. Donc le quotient est dérivable sur le plus petit ensemble commun, et dérivable sur R étoile également. On calcule les nombres dérivables en 0 et on conclure. On va le faire tout de suite. On va écrire, donc à droite ce sera le côté positif. J'ai 2x égale x sur 1 plus x, que moi j'aime bien écrire avec une astuce. Je fais plus 1 moins 1 sur l'expression. Je me rends compte que ça me fait x plus 1 sur 1 plus x moins 1 sur 1 plus x, ça me fait 1 moins 1 sur 1 plus x. Ce qui me donne tout de suite g prime de x à gauche. J'ai 2x égale x sur 1 moins x. Alors là c'est un peu différent, donc ce que je vais faire cette fois-ci c'est moins 1 plus 1, c'est ce qu'il va me faire. Donc c'est comme plus 1 moins 1 mais dans l'autre sens juste parce que là ça m'arrange. Ça fait x moins 1 sur 1 moins x. Ça c'est pareil à un signe moins près, donc ça fait moins 1 plus 1 sur 1 moins x. Et donc g sera pas g à cette fois-ci, à gauche ce sera h que je vais l'appeler. H prime de x égale, pas très compliqué à dériver non plus, ça fait 1 sur... Si je le détaille, le calcul, ça fait moins 1 sur 1 moins x au carré. Parce qu'il faut faire du moins u prime sur u carré. Et moins u prime, ici ça ferait moins 1. Parce que le u c'est 1 moins x, donc le u prime c'est moins 1. Donc ça devient 1 ici que je mets directement. Donc c'est parfait parce qu'ici j'ai g prime de 0 égale 1. H prime de 0 égale, quand je remplace x par 0, 1. C'était le but de l'exercice, montrer que de chaque côté ça venait se coller parfaitement. Un peu comme l'exercice précédent. Voilà, conclure, elle est dérivable.

Dérivabilité avec valeur absolue ?

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