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Polynômes 2nd Degré
Dans cette vidéo, nous étudions une méthode rapide pour étudier un polynôme de degré 2, plus spécifiquement le cas du polynôme de second degré que nous avons étudié depuis la seconde. Nous expliquons que cette méthode permet d'aller plus vite que la méthode classique d'étude de fonction.
Tout d'abord, nous dérivons la fonction f, en utilisant les formules usuelles, ce qui nous donne f'(x) = 4x - 8. Nous remarquons qu'il est possible de factoriser par 4, ce qui nous donne f'(x) = 4(x - 2). En observant cela, nous pouvons immédiatement déterminer les changements de signe de f'(x).
Nous constatons que le signe de f'(x) change en x=2. Lorsque x est supérieur à 2, f'(x) est positif, et lorsque x est inférieur à 2, f'(x) est négatif. Grâce à cela, nous sommes en mesure de déduire le tableau de variation de f'(x), qui est d'abord décroissante puis croissante.
Ensuite, nous calculons l'image de l'extremum de la fonction, qui est un minimum, en utilisant la formule classique -b/2a. Nous obtenons f(2) = 7, ce qui correspond au résultat que nous avions précédemment trouvé.
Nous expliquons également une astuce pour aller plus vite dans l'étude d'un polynôme de degré 2. Nous rappelons que ce type de polynôme s'écrit toujours sous la forme ax²+bx+c. Nous utilisons ensuite la formule -b/2a pour déterminer les coordonnées de l'extremum. En examinant le signe de a, nous pouvons déterminer s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum. Dans notre cas, a étant positif, nous savons que l'extremum est un minimum.
Nous mentionnons également que nous pouvons utiliser ces résultats pour déterminer le signe de f, en utilisant la formule -b/2a pour l'abscisse de l'extremum et -Δ/4a pour l'ordonnée de l'extremum. Nous rappelons également les formules pour les racines du polynôme, -b+√Δ/2a et -b-√Δ/2a.
En conclusion, cette méthode permet d'étudier rapidement les polynômes de degré 2 en utilisant des formules classiques. Elle permet de déterminer le sens de variation, le signe de la fonction et les coordonnées de l'extremum. Cette astuce peut être utile pour gagner du temps lors de l'étude de ces polynômes.
