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Fonction Composée
Dans cette vidéo, nous étudions une méthode pour trouver le tableau de variation d'une fonction composée de deux autres fonctions. Nous prenons l'exemple de la fonction E2-1 sur x².
Tout d'abord, nous identifions les fonctions qui composent la fonction E2-1 sur x². Nous avons la fonction g qui est égale à -1 sur x² et la fonction h qui est l'exponentielle. Nous notons que h est définie et dérivable sur R, tandis que g est définie et dérivable sur R* (excepté en 0).
En utilisant les formules de dérivation, nous trouvons que la dérivée de g, notée g', est égale à 2 sur x³. Nous remarquons que g' est du signe de x. En utilisant cette information, nous déterminons les variations de g et dressons son tableau de variation, qui indique que g est décroissante de -∞ à 0 et croissante de 0 à +∞.
Ensuite, nous trouvons les limites de g et les ajoutons au tableau de variation. En particulier, pour les limites en plus et moins l'infini ainsi qu'en 0, nous utilisons les propriétés de g pour déduire les valeurs des limites.
Une fois que nous avons toutes les limites, nous dressons le tableau de variation complet pour la fonction composée. Nous mentionnons également que la fonction est paire, ce qui nous permet de déduire les variations sur R1 par parité.
Ensuite, nous examinons le sens de variation de la fonction F en nous intéressant à la fonction H. Nous notons que la fonction exponentielle est croissante sur R et nous utilisons le tableau de variation de H pour déterminer les intervalles sur lesquels F est décroissante et ceux sur lesquels elle est croissante.
En ce qui concerne les limites de F, nous utilisons les propriétés des fonctions composées pour déterminer les limites en moins et plus l'infini, ainsi qu'en 0.
Enfin, nous traçons le tableau de variation de F en utilisant toutes les informations que nous avons recueillies. Nous notons que la fonction n'est pas définie en 0, mais nous pourrions prolonger la fonction par continuité en posant F de 0 égale à 0.
En conclusion, cette méthode nous permet d'étudier le sens de variation d'une fonction composée sans nécessairement calculer la dérivée de la fonction.
