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Analyse Terminale

Convexité

Dans ce cours, nous avons étudié la convexité d'une fonction polynomiale f(x) = x³ - 2x². Après avoir calculé les dérivées première et seconde de f(x), nous avons déterminé que f''(x) est positive pour x > 3/2 et négative pour x < 3/2. Ce qui signifie que f est concave sur l'intervalle ]-∞, 3/2] et convexe sur l'intervalle [3/2, +∞[.

Ensuite, nous avons trouvé l'équation de la tangente à f en x = -1, qui est y = 7x + 4. En utilisant cette équation, nous avons déduit que pour tout x négatif, x³ - 2x² est inférieur à 7x + 4. Cette inégalité géométriquement correspond à la courbe de f étant située en dessous de sa tangente. Comme f est concave sur l'intervalle ]-∞, 3/2], cette inégalité est satisfaite sur cet intervalle.

Il est important de noter que la méthode utilisée ici repose sur l'analyse de la convexité de la fonction pour résoudre l'inégalité. Cela est nécessaire car résoudre directement une équation polynomiale de degré 3 peut être complexe et ne peut être fait avec les compétences mathématiques courantes. En utilisant la convexité, nous avons pu déduire l'inégalité sans résoudre l'équation.

On va regarder une autre méthode sur la convexité. Encore une fois, c'est assez classique. Une fois qu'on maîtrise l'étude de la convexité, franchement, c'est quelque chose à dérouler assez rapidement parce que la méthode, c'est à chaque fois la même et les conclusions sont les mêmes. On va revoir ça tranquillement pour être sûr que tout est bien maîtrisé. Alors, on nous propose une fonction f de x égale x au cube moins 2x². Ici, ok, très bien. C'est un polynôme, donc c'est bien dérivable deux fois, pas de problème. Je calcule mes deux dérivés. J'ai f' de x qui vaut 3x² moins 4x et f'' de x qui vaut 6x moins 4. Moi, ce que je veux, c'est étudier le signe de f'' de x. Je résout 6x moins 4 supérieur à 0, ça veut dire que x supérieur à 3 demi. Et dans le cas contraire, f'' de x inférieur à 0, ça veut dire que x est inférieur à 3 demi. Du coup, j'en déduis la concavité et la convexité. f est concave sur moins l'infini 3 demi et f est convexe sur 3 demi plus l'infini. Donc ça c'est bon, je sais maintenant que j'ai étudié la convexité. Ensuite, on me demande l'équation de la tangente de f en moins 1. Rien de plus simple, j'applique mes formules. Je sais que l'équation de la tangente en moins 1, c'est f' de 1 fois x moins moins 1 plus f de 1. On ne se plante pas sur le signe, moins moins 1 ça donne plus. f' de 1, je le calcule juste avant, ça fait 7. F' de moins 1 qui vaut 7. f' et f de moins 1, ça vaut moins 3. J'additionne tout ça et je me retrouve avec 7x plus 4. Mon équation de tangente, c'est y égale 7x plus 4. Ensuite, on me demande d'en déduire que pour toute x négative, x au cube moins 2x carré inférieur à 7x plus 4. Là, il faut bien analyser le truc. Je vois 7x plus 4, c'est ce que je viens de trouver. Je vois que c'est l'équation de la tangente, et x au cube moins 2x carré, c'est f. Par simple analyse, ce que je vois, c'est que l'interprétation géométrique de cette inégalité, c'est que cf est en dessous de sa tangente. Dans quel cas on a ça ? Quand la fonction est concave. Ça tombe bien, on vient de montrer qu'elle est concave sur l'intervalle sur moins l'infini 3,5. Donc, R- est inclus là-dedans, c'est moins l'infini 0. Sur cet intervalle-là, la cf sera en dessous de cette tangente parce qu'elle est concave, et donc j'ai bien l'inégalité voulue. Je vous montre un exemple avec la courbe, elle ressemble à ça, cf. J'ai tracé une tangente parmi toutes celles possibles, et on voit bien qu'elle est toujours en dessous de ces tangentes. Sur R-, on pourrait avoir un cas, si on prend la tangente par là, elle va passer au-dessus, mais ça ne nous concerne plus parce qu'on n'est plus sur R-, on est sur R+, un intervalle où elle n'est pas concave. Elle devient convexe à partir de 3,5. En tout cas, sur R-, pas de problème. Pour cette méthode, cf est située en dessous de toutes ces tangentes sur l'intervalle considéré, sur R-, en particulier la tangente en moins 1 dont on a donné l'équation, donc je peux conclure que j'ai x³-2x² qui est inférieur à 7x7. Là, il faut absolument penser à la convexité, parce que si on ne voit pas ça, qu'on prend l'équation telle qu'elle, c'est une équation avec un polynôme de degré 3, et ça, on ne sait pas résoudre. On sait faire un degré 2, mais un degré 3, on ne sait pas faire. Et vous ne saurez jamais faire. Même en prépa, vous ne saurez pas faire. C'est bien la méthode utilisée, c'est de penser à la convexité. Voilà pour cette petite méthode. Si vous avez des questions, comme d'habitude, je vous invite à aller voir la FAQ. Voilà pour cette méthode.

Convexité et Inégalités

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