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Croissance Comparée
Dans cette leçon, nous étudions la fonction f(x) = 3 - x + 2ln(2x). Nous commençons par dériver cette fonction pour trouver son signe. La dérivée est f'(x) = -1 + 2x.
En utilisant le signe de la dérivée, nous pouvons voir que f'(x) est positif pour x ∈ ]0,2[ et négatif pour x ∈ ]2,+∞[. Nous pouvons également calculer f(2) = 1 + 2ln(2).
Ensuite, nous étudions les limites de f(x). En +∞, nous factorisons par x et utilisons la croissance comparée pour trouver que la limite est 0. En 0, nous avons également une limite de 0.
En analysant les variations et les limites, nous construisons le tableau de variation complet de f(x). Nous trouvons que f(x) tend vers -∞ en +∞ et en 0, et qu'il atteint un maximum en x = 2.
Enfin, nous étudions la convexité de f(x) en dérivant une deuxième fois. La dérivée seconde est f''(x) = -1/x^2, qui est strictement négative sur R étoile plus. Par conséquent, f(x) est concave sur R étoile plus.
Voilà, nous avons maintenant étudié les variations et la convexité de la fonction f(x) = 3 - x + 2ln(2x). Si vous avez des questions supplémentaires, n'hésitez pas à consulter notre FAQ.
