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Primitives : condition initiale
Dans cet exercice, nous devons vérifier si la fonction F(x) = x³ + ln(x) est une primitive de la fonction f(x) = 3x² + 1/x. Pour cela, nous devons dériver F(x) et vérifier si nous obtenons f(x). En dérivant F(x), nous obtenons 3x² + 1/x, ce qui est bien égal à f(x). Donc F(x) est une primitive de f(x).
Il est important de noter qu'il existe une infinité de primitives de f(x), car il y a une constante additive qui peut varier. La question suivante consiste donc à trouver l'ensemble des primitives de F(x) et à déterminer celle qui prend la valeur 0 en un point donné E. Pour cela, nous avons trouvé que les primitives de F(x) sont de la forme F(x) = x³ + ln(x) + K, où K est une constante réelle.
Pour trouver la primitive qui s'annule en E, nous devons trouver la valeur de K qui satisfait F(E) = 0. En remplaçant x par E dans F(x), nous obtenons E³ + 1 + K = 0. En résolvant cette équation, nous trouvons que K = -1 - E³. Donc la primitive de F(x) qui s'annule en E est F(x) = x³ + ln(x) - 1 - E³.
Cet exercice introduit les méthodes de calcul des primitives et montre leur utilité dans la résolution des équations différentielles. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser dans la FAQ.
