All subjects
- All subjects
Équation y'=ay
Dans cette méthode, nous étudions une équation différentielle de premier ordre à coefficient constant, plus précisément les équations du type y' = y. Nous allons résoudre l'équation différentielle 3y' = 2y en la divisant par 3, ce qui nous donne y' = 2/3y, de la forme y' = y avec a = 2/3. Nous connaissons déjà les solutions de ce type d'équation, qui sont de la forme y = ke^(ax), où k est une constante réelle. Dans cet exercice, nous devons tracer les courbes solutions, ce qui varie est la constante multiplicatrice k. J'ai fait plusieurs exemples avec k allant de 0.25 à 3 et j'ai observé que plus k augmente, plus la courbe s'élève rapidement. On reconnaît clairement une famille de courbes qui ont la même allure. Ensuite, nous devons déterminer la courbe qui vérifie f(1) = e. Nous savons qu'une équation différentielle avec une condition particulière aura une solution unique qui satisfait à la fois l'équation différentielle et cette condition particulière. Ici, nous voulons que f(1) = e, ce qui nous permet de trouver la valeur de k. Nous posons f(x) = ke^(2/3x), et en évaluant en 1, nous obtenons ke^(2/3) = e. En résolvant cette équation pour k, nous obtenons k = e^(1/3). Donc notre solution est f(x) = e^(1/3)e^(2/3x). C'est une méthode classique pour résoudre les équations différentielles du type y' = y avec une condition initiale. Si vous avez des questions, consultez la FAQ.
