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Équation y'=ay+b
Aujourd'hui, nous allons voir comment résoudre des équations différentielles d'ordre 1 avec un second membre. Cela signifie que nous avons une équation de la forme y' = y + b. La méthode est assez simple ; nous commençons par chercher une solution particulière constante. Ensuite, nous résolvons l'équation homogène y' = y. La solution de l'équation différentielle sera donc la somme de ces deux solutions.
Prenons cet exemple d'équation différentielle : y' = -y + 3. Nous pouvons résoudre l'équation dans n'importe quel ordre, mais commençons par résoudre l'équation homogène : y' = -y. Les solutions de cette équation sont de la forme y(x) = ae^(-x), où a est une constante réelle.
Ensuite, cherchons une solution particulière constante. Une solution constante signifie que sa dérivée est nulle. Nous l'injectons dans l'équation y' = -y + 3 et nous obtenons 0 = -3 + 3. Cela implique que phi(x) = 3 est une solution particulière.
Finalement, la solution générale de l'équation différentielle est y(x) = ae^(-x) + 3, où a est une constante multiplicative quelconque. Il y a toujours une constante multiplicative dans la solution. Si nous avons besoin de déterminer sa valeur, nous aurons besoin d'une condition particulière. Par exemple, si nous avons y(alpha) = beta, cela nous permettra de trouver une solution unique qui satisfait cette condition.
C'est ainsi que nous résolvons une équation différentielle de la forme y' = y + b. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à les poser dans la description.
