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Analyse Terminale

Équations Différentielles

En résumé, ce cours vise à trouver une solution particulière pour l'équation différentielle y'-2y = xe^2x. L'approche consiste à essayer différentes formes de solutions en utilisant l'expérience et la connaissance des équations similaires. Dans un premier temps, une solution de la forme ax + b est testée, mais cela ne fonctionne pas car la structure g'=2g ne peut pas égaler xe^2x. Ensuite, une solution de la forme ax^2 + bx + c est essayée, ce qui conduit finalement à une solution de degré 2 fois exponentielle de 2x. Il est noté que la constante c n'a pas d'impact sur la solution, donc une valeur de c=0 est choisie. La solution générale est donc donnée par y= k*e^2x + (x^2)/2*e^2x, avec k étant un réel quelconque.

y'-2y égale xe2x, c'est un test pour voir comment vous laissez s'enfiler. Essayez de vous débrouiller pour trouver une solution particulière. On a vu tout à l'heure qu'on doit prendre un truc qui ressemble. Ici, c'est quoi ce truc-là quand j'identifie vraiment ? C'est du x fois e2x. Je vais tenter ax plus b. On essaye. J'ai un feeling que ça peut foirer. Si ça foire, on fera g2x égale ax² plus bx plus c. Dans ce cas, j'éprime. Pourquoi est-ce que c'est un drame ? Si je prends un g de cette forme-là, la structure g'-2g vaut toujours une constante fois e2x. Donc, elle ne vaudra jamais x fois e2x. C'est impossible. Pourquoi j'ai remarqué que ça ne marchait pas ? C'est l'expérience. L'expérience, c'est juste savoir que quand l'équation égale à 0 a pour solution e2x, s'il y a un truc avec exactement la même exponentielle, il faut en général monter d'un degré au-dessus. Il faut l'expérience pour le savoir. Si ça vous arrive, c'est un exercice de terminaire que j'ai cherché dans la dernière page d'un bouquin, les x sont un peu plus durs. Si ça vous arrive, ne paniquez pas. Vous avez tenté. Vous savez que c'est super, il faut tenter un truc pareil. Ça bloque. Ce n'est pas grave. Vous êtes au courant que l'étape d'après, c'est de réessayer. On repart sans trop se dépiter. C'est réessayer avec un polynomial degré 2. On pose cette fois-ci g2x. C'est moche, mais j'espère trouver des paramètres pour retomber là-dessus. Est-ce que je suis confiant ? Plutôt, parce que je vois tout de suite que 2ax2 va dégager ici. Ensuite, j'ai un certain nombre de x qui vont rester. Quand j'avais une g beaucoup plus simple, qu'est-ce qu'il se passait ici ? Les x dégageaient. Les constantes, certaines aussi, mais les x dégageaient. J'étais un peu dans la barre. Là, les x2 dégagent. Ce n'est pas un problème, parce qu'il y a certains x qui vont partir, mais d'autres qui vont rester. J'ai 2bx qui s'en vont. En effet, il y a 2ax plus 2bx moins 2bx. Il reste 2ax. Vous voyez ici que je n'ai aucune condition sur c. C'est-à-dire que si je mets c égale 1, c égale 3, c égale 28000, ça ne changera pas grand-chose, ce sera la solution. Je ne vais pas m'embêter. Je prends c égale 0, et j'ai trouvé ma solution, qui est plus ou moins du degré 2 fois exponentielle de 2x. Quand j'ai ça, j'ai plus qu'à dire que la solution générale, c'est y2x égale grand-k fois e2x plus g2x, 1 demi de x2e2x. Donc ça fait k plus x2 sur 2 fois e2x. On peut la voir en version rétorisée. Avec k, un réel quelconque, bien sûr, qui variera selon les conditions initiales, etc.

Solution particulière plus difficile

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