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Limites de Suites

Dans cette vidéo, nous abordons la notion de limite infinie. Une suite tend vers plus l'infini lorsque, pour toute valeur de plateau, la suite finira par dépasser ce plateau et avoir tous ses termes au-dessus de celui-ci. Cela signifie que la suite peut atteindre des valeurs de plus en plus élevées. Cette idée est illustrée graphiquement avec une suite croissante basée sur la parabole 𝑋². On montre que pour n'importe quelle valeur de plateau, il existe un rang où tous les termes de la suite sont au-dessus de ce plateau. De manière similaire, nous abordons la limite vers moins l'infini, où une suite décroissante finira par être en dessous de n'importe quelle valeur de plateau, même si celle-ci est très basse. Cette symétrie entre les limites infinies positives et négatives est importante à comprendre et à retenir pour les exercices et les méthodes classiques.

Dans la continuité de la vidéo précédente, après la limite finie, j'ai envie de vous montrer maintenant ce que c'est avoir une limite infinie. L'idée d'avoir une limite plus l'infini ou moins l'infini, ça va être la suivante. On dit qu'une suite un tend vers plus l'infini, si pour n'importe quel plateau A, je me rends compte que ma suite va finir par dépasser ce plateau et avoir tous ses termes au dessus de ce plateau. C'est-à-dire que je peux prendre un plateau aussi haut que je veux, ma suite, si elle tend vers plus l'infini, va être capable de dépasser ce plateau et partir toujours plus haut. C'est ça l'idée d'aller toujours plus haut, c'est est-ce qu'on peut déplacer toute valeur de plateau un peu arbitraire. Je vais vous le montrer encore une fois sur un graphique. Alors, si on fait ça sur un graphique, je vais virer ces trucs-là, je vais prendre une suite qui croît très fort, pas besoin de ces trucs-là, je vais vous afficher ça comme ça. Une suite croissante qui a l'air de tend vers plus l'infini et qui est basée sur la parabole X2. Si je prends un plateau, ici un plateau qui vaut, je ne sais pas, 8, 9, un truc comme ça, est-ce qu'il est vrai qu'il existe un rang, un entier n, pour lequel toute ma suite, tous ses termes sont au dessus de la valeur du plateau ? Oui, si je regarde ici, j'ai ce point qui est le point 3, 9, à partir de ce point-là, tous les points de ma suite, tous, tous, tous, tous, tous, sont au dessus du plateau. Très bien. Est-ce vrai pour un plateau bien plus haut ? Je prends un plateau arbitraire, par exemple autour de la valeur, je ne sais pas, 50. Est-il vrai que, même si je prends un plateau aussi haut que 50, il y a un moment où tous les termes de ma suite vont être au dessus ? Oui, apparemment. Le terme 8, qui vaut 64, c'est la suite un et n² que j'ai tracée, je n'ai pas été dans la complexité, à partir de 8 et au-dessus, tous les termes de la suite sont au dessus de ce plateau. Vous avez compris l'idée ? En gros, l'idée c'est s'il est possible, pour toute valeur de plateau aussi grande soit-elle, de dépasser ce plateau avec tous les termes qui suivent, alors c'est ça, tan²±∞. C'est ça qu'on appelle tan²±∞. Voilà, c'est assez simple. Pour la limite en moins l'infini, on aura une idée un peu similaire, c'est-à-dire que si je prends une suite, l'inverse de la première, si je prends une suite comme ça, et que je trace y qui égale, cette fois-ci, moins 1, un petit plateau, j'avais un plateau A que je vais maintenant mettre en négatif, j'ai une suite qui décroît, qui a l'air de sombrer vers moins l'infini, bon nous on sait que c'est moins l'infini parce que c'est un²±∞, clairement ici. Si je prends un plateau assez haut en négatif, donc si vous voulez, assez bas en fait, avec des valeurs assez fortes mais négatives, est-ce que je peux dire que j'ai toujours les valeurs de un qui sont en dessous de ce plateau ? Bah oui, là j'ai A égale à moins 45 à peu près, un plateau A, moins 45, est-il vrai que tous les termes de la suite sont en dessous de ce plateau ? Bah oui, à partir de ce terme là qui est le terme 7, pour cette suite là qui est décroissante, j'ai l'impression pour tout plateau je vais être capable de le faire. Donc si je prends un plateau beaucoup plus balèze, 60 par exemple, bon enfin plus balèze, est-ce que c'est vrai ? Oui, à partir de 8, etc. Donc pour moi l'infini c'est parfaitement symétrique comme définition, c'est juste l'idée de dire que cette fois-ci pour un plateau qui est assez bas, est-ce que je vais avoir tous les termes qui passent en dessous ? Donc voilà, si vous avez bien compris l'illustration graphique de ces deux propriétés, il faut bien les apprendre ensuite pour être capable de les réutiliser potentiellement en exercice, etc. dans des petites méthodes assez classiques. N'hésitez pas à poser les questions dans la FAQ si vous n'êtes pas encore sûr de vous, et sinon je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

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