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Théorèmes de Convergence

Dans ce cours, nous abordons les théorèmes de convergence des suites. Certaines suites peuvent sembler compliquées et difficiles à gérer, mais certains théorèmes nous permettent de les étudier de manière plus accessible. En utilisant des suites plus simples, nous pouvons les comparer et tirer des conclusions sur des suites en apparence complexes. 

Parmi les points importants de ce cours, nous allons étudier deux théorèmes : le théorème de comparaison, qui nous permet de démontrer qu'une suite tend vers l'infini, et le théorème de gendarme, qui nous permet de montrer qu'une suite tend vers une limite finie. Nous aborderons également les notions de suites minorées, majorées et bornées, ainsi que le théorème de convergence monotone. 

En ce qui concerne les méthodes, nous verrons comment travailler avec des sinus de n ou des moins-un puissance n, qui peuvent sembler compliqués de prime abord. Nous étudierons également les suites homographiques, qui sont des suites de la forme 3n+1/n+4. Ce type de suite est fréquemment rencontré et il existe des astuces pour simplifier ces expressions et gagner du temps lors des calculs. 

N'hésitez pas à poser vos questions ou demander des précisions dans la FAQ. La prochaine vidéo portera sur le théorème de comparaison. À bientôt !

Bienvenue dans ce dernier sujet du chapitre sur les suites, les théorèmes de convergences. Alors les théorèmes de convergence, ça parle d'un constat, et qu'il y a pas mal de suites qui sont très moches, qui sont moches et qui ont l'air ingérables, des suites du genre celle-ci, des suites du genre celle-là, des sinusènes, etc, etc. Mais, certaines, notamment ces deux-là, ne sont pas si inaccessibles. C'est-à-dire que, si on regarde un peu de plus près, quand on voit la fraction là, les deux fractions en l'occurrence, quand on regarde au-dessus de la barre de fraction ce qu'il se passe, on a du moins impuissant scène, on a du sinusène, en effet c'est moche, ça doit faire des trucs un peu dégueux, partir dans tous les sens. C'est vrai. Mais ça reste des nombres très petits. C'est-à-dire que c'est petit, ça va bouger dans tous les sens, ça reste petit. Et c'est divisé, en dessous de la fraction donc, c'est divisé par des trucs très très gros, qui, plus n devient gros, bah plus ils deviennent gros, la racine de n ou n lui-même. Et donc on a un objet qui est quand même, genre, petit truc laid, petit truc qui fait bzzz dans tous les sens, petit truc moche, divisé par un truc énorme. On sent que ça va tendre vers zéro. On peut avoir l'intuition de ce qui se passe. Je vais vous montrer un graphique pour illustrer. Ici je vous ai tracé la fonction sinusex sur x. Puis j'ai collé dessus les différents points qui correspondent à la suite sinusène sur n. Donc en effet, ça bouge dans tous les sens, ça oscille, ça fait des trucs un peu comme ça, mais si on regarde bien, le truc principal qui se passe, c'est que ça s'écrase. En fait ça s'approche de plus en plus de zéro, même si c'est de manière oscillante. Mais on sent que ça va s'écraser. Donc on peut avoir l'intuition du résultat, même si la suite est, ce que j'appelle, moche. Et donc mathématiquement, comment on fait ? Nous on sort d'un sujet qui était un petit peu abscons, les définitions de limites, et en fait on avait pas mal de définitions assez moches, où il fallait utiliser des epsilon, des grands A, et des trucs comme ça. En gros, des trucs que vous n'aimez pas. C'est là la grande force de ce sujet-là, les théorèmes de convergence. C'est qu'en fait on va pouvoir avoir accès à des théorèmes qui sont beaucoup plus accessibles, et qui sont beaucoup plus lisibles, beaucoup plus clairs. Ils vont nous permettre de... Alors force principale, ça va être qu'on va pouvoir analyser des objets très moches, un peu bizarres, qui bougent dans tous les sens, du genre les suites comme ça, mais en utilisant, des suites beaucoup plus simples, proches des objets qu'on veut utiliser, mais beaucoup plus simples, beaucoup plus classiques. On va pouvoir faire des comparaisons, et ces comparaisons vont nous aider à conclure sur des suites même très intuitivement pas accessibles, et qui ont l'air un peu compliquées. Un petit résumé de ce sujet, il y aura quelques points de cours, principalement la connaissance des théorèmes. Vous aurez deux théorèmes qui vont vous aider à trouver des résultats sur les limites de suite, en les comparant à d'autres suites. Donc un, le théorème de comparaison, deux, le théorème de gendarme. Ces deux-là, en gros, pour retenir l'idée que le théorème de comparaison, c'est pour démontrer que quelque chose tend vers plus l'infini, le théorème de gendarme, c'est pour montrer qu'une suite tend vers une limite finie. Ensuite, on verra quelques définitions, suites minorées, majorées, bornées, ce sera assez simple, et ces définitions pourront nous conduire enfin à un théorème vraiment capital de l'année terminale, qui est le théorème de convergence monotone. Alors, en termes de méthodes, on pourra les compléter au fur et à mesure, mais voilà trois méthodes qui me semblaient vraiment importantes, c'est-à-dire savoir repérer et gérer un sinus de n, savoir repérer et gérer un moins-un puissance n, donc ces trucs moches qui font peur, savoir les attaquer, savoir se débarrasser de la peur qui nous inspire. Et enfin, un cas très pratique, qui s'appelle le cas des suites homographiques, donc en fait c'est le cas des suites qui s'écrivent, si vous voulez, 3n plus 1 sur n plus 4, donc un degré 1 divisé par un degré 1. Ce cas-là, en fait, c'est un cas que je voulais mettre dans ce sujet-là, parce qu'il tombe très souvent, il y a plein d'exos qui sont basés sur ce type de suite ou ce type de fonction, genre x plus 1 sur x plus 2, et il y a des manières de tripatouiller un petit peu ces expressions qui peuvent vraiment vous faire gagner beaucoup de temps, quelques minutes, et je pensais que c'était important de remettre un peu une couche là-dessus ici. Voilà, donc n'hésitez pas, si vous avez des points de précision, si vous avez des questions, à venir en discuter avec nous dans la FAQ, sinon je vous retrouve pour la prochaine vidéo, qui est une vidéo sur le théorème de comparaison. À toute !

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