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TVI : LE théorème
Le théorème des valeurs intermédiaires est un outil essentiel pour l'étude des fonctions et la résolution d'équations. Il permet de démontrer qu'une équation de la forme f(x) = k possède au moins une solution dans un intervalle donné, même si on ne peut pas trouver de solution exacte.
Le théorème stipule que si f est une fonction continue sur un intervalle [a, b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet au moins une solution c dans l'intervalle [a, b].
Pour illustrer cela, on utilise un graphique représentant la courbe d'une fonction. En traçant la courbe de manière continue entre les points f(a) et f(b), on constate que cette continuité garantit le passage de la courbe à travers toute droite horizontale k tracée entre f(a) et f(b). Ainsi, on est assuré d'avoir au moins une solution pour l'équation f(x) = k.
Si la fonction ne présente pas de zigzags, c'est-à-dire si elle est strictement croissante ou décroissante sur l'intervalle [a, b], il n'y aura qu'une seule solution pour chaque valeur k. Cela peut être utilisé pour déterminer les positions exactes des solutions dans certains cas.
Il est important de citer le théorème des valeurs intermédiaires dans les justifications, en précisant que la continuité de la fonction permet d'affirmer l'existence de solutions. Dans le cas où la fonction présente des zigzags, il est également possible d'utiliser le théorème de la bijection pour déterminer le nombre de solutions sur différents sous-intervalles de [a, b].
