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Prolongement par Continuité
Le prolongement par continuité est utilisé lorsque certaines conditions sont réunies. Tout d'abord, si la fonction n'est pas définie en un point (par exemple en raison d'une valeur interdite), et que la limite de la fonction existe et est finie, on peut effectuer un prolongement par continuité en posant la valeur de la fonction en ce point égale à la limite de la fonction lorsque x tend vers ce point. Cela permet de créer une fonction qui est définie et continue en ce point.
Par exemple, si on considère la fonction f(x) = x/x, on constate qu'elle n'est pas définie en x=0 en raison du dénominateur. Cependant, on peut prolonger cette fonction par continuité en posant f(0)=1, car la limite de la fonction lorsque x tend vers 0 est égale à 1. Ainsi, on obtient une fonction qui est définie et continue en tout point.
Dans l'exercice présenté, on nous propose une fonction f(x) = {0 si x≠0, x*sin(1/x) si x=0}. On constate que cette fonction n'est pas définie en x=0 à cause du terme 1/x. Cependant, en observant le graphique de la fonction, on peut conjecturer que cette fonction est continue en 0, car elle semble se rapprocher de 0 lorsque x tend vers 0. Pour démontrer cela, on utilise le théorème d'encadrement en observant que le terme sin(1/x) est compris entre -1 et 1. En multipliant cette expression par |x|, on obtient une expression qui est comprise entre 0 et x. Puisque cette expression tend vers 0 lorsque x tend vers 0, le théorème d'encadrement nous permet de conclure que la fonction f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0. Ainsi, on démontre que la fonction f(x) est continuellement 0 en 0, ce qui confirme qu'il s'agissait bien d'un prolongement par continuité proposé par l'exercice.
En résumé, le prolongement par continuité est utilisé lorsque la fonction n'est pas définie en un point mais que sa limite existe. En posant la valeur de la fonction égale à cette limite, on obtient une fonction qui est définie et continue en ce point. Dans l'exercice présenté, on démontre que la fonction proposée est continuellement 0 en 0 en utilisant le théorème d'encadrement.
