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TVI et Fonction Auxiliaire
Le cours porte sur le théorème des valeurs intermédiaires et son utilisation pour étudier une fonction complexe.
La fonction étudiée, f(x) = 10x / (e^x + 1), est bien définie et dérivable sur l'ensemble de définition (0 ; +∞). La dérivée de f(x) est obtenue en utilisant la formule du quotient, et simplifiée pour obtenir la fonction g(x) = 1 - xe^x.
Pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, il est nécessaire de vérifier la continuité de g(x) sur l'intervalle (0 ; +∞), ce qui est le cas ici. On trouve que g(0) = 2 et que la limite de g(x) lorsque x tend vers +∞ est -∞. Ainsi, la fonction g(x) passe par 0, ce qui permet d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
En dérivant g(x) on obtient g'(x) = -xe^x, qui est strictement négative sur l'intervalle (0 ; +∞). On en déduit que la fonction g(x) est strictement décroissante.
L'application du théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure qu'il existe un unique réel alpha tel que g(alpha) = 0. En utilisant une calculatrice, on trouve que alpha ≈ 1,28.
Le signe de g(x) permet de déterminer le sens de variation de f(x). On trouve que f(x) est croissante sur l'intervalle (0 ; alpha) et décroissante sur l'intervalle (alpha ; +∞). Les limites de f(x) sont f(0) = 0 et f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers +∞.
En conclusion, le théorème des valeurs intermédiaires permet d'affirmer l'existence et l'unicité d'un réel alpha tel que f(alpha) = 0, et d'obtenir le sens de variation de f(x) sur l'intervalle (0 ; +∞).
