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TVI et calculs costauds !
Dans ce cours, nous étudions la fonction f(x) = 2/(e^x + e^(-x)). Notre premier réflexe est de vérifier si la fonction est bien définie, c'est-à-dire si le dénominateur peut être nul. Comme il s'agit d'une somme d'exponentielles positives et strictement positives, le dénominateur ne peut jamais être nul. Donc, nous sommes confiants quant à la définition de la fonction.
Ensuite, nous examinons graphiquement le nombre de solutions de l'équation f(x) = x. Nous observons qu'il y a une seule solution.
Pour prouver que la fonction g(x) = f(x) - x est décroissante, nous commençons par vérifier si elle peut être exprimée comme la somme de fonctions décroissantes. Malheureusement, cela ne fonctionne pas, donc nous devons passer par un calcul de dérivées.
Nous calculons la dérivée de f(x), qui est un peu compliquée mais faisable. Nous mettons tout au même dénominateur et nous obtenons l'expression simplifiée de la dérivée.
En analysant cette dérivée, nous remarquons que nous avons une somme d'exponentielles de x et d'autres termes qui forment des identités remarquables. Nous recomposons ces identités remarquables et nous obtenons finalement l'expression g(x) = (e^(2x) + 1)^2 - (e^(-x) - 1)^2. Nous remarquons que g(x) est toujours négatif, ce qui prouve que la fonction g est décroissante.
Finalement, nous faisons un petit tableau pour la fonction g, en prenant en compte ses limites (plus l'infini et moins l'infini), sa décroissance stricte et le fait que 0 est compris entre moins l'infini et plus l'infini. Grâce au théorème des valeurs intermédiaires, nous concluons qu'il existe un unique alpha tel que g(2x) = 0, ce qui signifie qu'il y a une seule solution à l'équation f(x) = x.
