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Dérivabilité avec valeur absolue ?
Dans cet exercice, il est question de déterminer si une fonction est continue et dérivable sur R. La fonction en question est définie comme suit : f(x) = 1 + x / |x|.
Tout d'abord, pour analyser la continuité de la fonction, on remarque que 1 + x est définie pour tout x appartenant à R. De plus, |x| est toujours strictement positive, donc l'expression 1 + x / |x| ne peut jamais être égale à zéro. Ainsi, il n'y a pas de problème de définition et la fonction est continue sur tout R.
En ce qui concerne la dérivabilité de la fonction, on constate qu'elle est dérivable partout sauf en x = 0. En effet, la dérivée de 1 + x est simplement 1, et la dérivée de |x| est indéfinie en x = 0. Cependant, on suppose que la fonction est dérivable en x = 0 par intuition, car elle semble lisse et ne présente pas de rupture de pente à ce point.
Pour démontrer la dérivabilité de la fonction, on calcule ses dérivées de chaque côté de x = 0. À droite de 0, la dérivée de f(x) est égale à 2x / (1 + x)^2. À gauche de 0, la dérivée de f(x) est égale à x - 1 / (1 - x)^2. En évaluant ces dérivées en x = 0, on obtient respectivement 0 et 1. Donc, les dérivées à gauche et à droite de 0 ne sont pas égales, ce qui signifie que la fonction n'est pas dérivable en x = 0.
En conclusion, la fonction f(x) = 1 + x / |x| est continue sur tout R, mais n'est pas dérivable en x = 0.
