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Convexité

La vidéo propose un résumé sur la convexité et les définitions de la convexité. Pour comprendre rapidement, on peut simplement visualiser un graphe où le terme "convexe" indique une augmentation progressive, et le terme "concave" une augmentation plus lente. Une autre façon de se rappeler est que "convexe" sourit, tandis que "concave" fait la tranche. Ensuite, la vidéo introduit la définition mathématique officielle, en commençant par la définition d'une séquente ou d'une corde, qui est une droite reliant deux points d'une courbe. Une fonction est convexe si sa courbe est en dessous de toute séquente reliant deux points de cette courbe sur un intervalle donné, et elle est concave si elle est au-dessus de cette séquente. Le graphique est montré pour illustrer ces concepts. Il est précisé que dans cette définition, il n'y a pas de contrainte sur la continuité ou la dérivabilité de la fonction. Le résumé se termine en annonçant la prochaine vidéo sur la continuité.

Pour cette première vidéo sur la convexité et les définitions de la convexité, on pourrait faire un truc très très simple avec un graphe qui va en gros vous dire bon écoutez les mecs convex c'est comme ça comme ça, concave c'est comme ça, voilà les gens c'est ça qu'il faut savoir et donc on pourrait pousser un peu plus et dire bon convex en gros c'est quand ça a l'air de monter de plus en plus et concave quand ça a l'air de monter mais pas trop vite une autre version c'est de se rappeler que convex c'est quand ça sourit et concave c'est quand ça fait la tranche Donc ça c'est l'idée générale, on va pousser un peu plus et introduire quand même la définition mathématique officielle on commence par une définition très très très fondamentale qu'est ce qu'une séquente ou une corde, le vocabulaire dépend des profs, une séquente c'est toute droite qui rejoint deux points d'une courbe voilà donc ici vous voyez j'ai le point A, le point B, une séquente ça serait la droite bleue Quelle est la définition d'une fonction convexe, donc si on a une fonction f avec sa courbe cf dans un repère on est convex sur un intervalle y si pour tout réel x de y la courbe cf est en dessous de c séquente elle sera concave si elle est au dessus de c séquente très bien allons voir quand même le graphe pour vérifier un peu qu'on a compris ce que ça veut dire tout ça on est de retour alors je vais virer ça je vais commencer par la fonction convex traçons une corde, prenons une corde au hasard pour illustrer je prends un point A ici un point B ici et je vais tracer la corde entre les deux points A et B surprise en effet la fonction rouge donc cf rouge là et bien en dessous de sa séquente c'est ça qu'on veut dire quand on dit qu'une fonction est convexe elle sera en dessous de toute corde toute séquente qui relie deux points de sa courbe bon on peut aussi aller voir le cas qui ressemble plus à un logarithme qu'on a vu tout à l'heure c'est à dire le cas comme ça si je me réamuse à prendre des points A ici et pas un exemple B ici je pourrais en prendre d'autres mais j'en prends qui sont assez écartés pour que vous voyez quelque chose et je trace la séquente la corde boum ce petit bout de trait bleu il est cette fois ci en dessous de la courbe c'est ce qu'on appelle être concave alors pour faire un dernier point là dessus ce qui est très important c'est que dans cette définition il n'y a pas grand chose on dit juste on est concave ou convexe selon la position de ces droites qu'on peut tracer à partir de la courbe donc là bien sûr j'ai tracé des jolies fonctions des fonctions qui sont continues dérivables mais il n'y a rien de tout ça dans la définition on peut être convex on peut être concave tout en étant par exemple non dérivable c'est pas spécialement lié bon c'est tout ce que j'ai pour cette vidéo de présentation et la définition exacte de la continuité je vous retrouve dans la prochaine bye bye

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