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Fonctions Cos et Sin

Dans cette leçon, l'objectif est de comprendre comment résoudre des équations trigonométriques. Le premier conseil est de toujours dessiner un cercle trigonométrique pour bien visualiser ce qui se passe et ne pas oublier des solutions qui pourraient être évidentes sur le cercle. Les solutions de l'équation cos x sont cos A et sin A. Donc, les solutions sont A ou moins A, et A ou pi moins A, avec une marge d'erreur de pi. Pour illustrer cela, nous utilisons un graphique où M représente les angles t, t plus 2pi, etc. Les solutions évidentes sont donc tous les angles sur le cercle. En continuant à tracer la valeur du cosinus de t, nous réalisons qu'il y a un autre angle, symétrique à t par rapport à l'axe OX, qui a la même valeur de cosinus. Donc, une autre solution est x égal à moins t à deux kpi près, avec k appartenant à z. Pour résoudre une équation sin x, nous utilisons l'axe des sinus. En traçant, nous remarquons un autre angle qui a la même valeur de sinus que t. Cet angle est pi moins t. Donc, l'autre solution est x égal à pi moins t plus 2kpi, avec k appartenant à Z. L'idée générale est de tracer une droite verticale pour trouver les angles ayant le même cosinus sur l'axe OX, et de tracer une droite horizontale pour trouver les angles ayant le même sinus sur l'axe OY. N'hésitez pas à poser des questions ou à discuter dans la FAQ.

Pour la résolution d'équations trigonométriques, ça va être assez simple. Le premier conseil, c'est de toujours faire un cercle trigo pour être sûr d'avoir bien en tête ce qui se passe et de ne pas rater des solutions qui pourraient facilement être oubliées alors qu'elles seraient très faciles à voir sur le cercle. Donc, on vous donne à savoir par cœur, mais j'ai envie de vous montrer quand même pourquoi est-ce que c'est ça les solutions, à savoir par cœur deux solutions d'équations. Les solutions de l'équation cos x, il y a le cos A, et celles sin x, il y a le sin A. Donc, on vous donne les solutions. Une, c'est A ou moins A. L'autre, c'est A ou pi moins A, à deux cas pi près. J'ai envie d'illustrer un petit peu, donc laissez-moi juste changer de logiciel. Voilà. Alors, on a pour un x appartenant à R, je veux savoir quels sont les x possibles, tels que, alors j'ai remplacé alpha par t ici, petit a par petit t, quels sont les x tels que cos x, il y a le cos t. Donc moi, j'ai appelé le petit point ici M. Je sais que M représente en fait les angles t, mais aussi t plus 2pi, t plus 4pi, même t moins 2pi, t plus 2kpi, quel que soit le cas. Donc, les premières solutions évidentes de quels sont les angles qui vérifient le même cosinus que t, c'est tous les angles qui sont ici. C'est-à-dire t lui-même, t plus 2pi, etc. Tout cela. C'est pour ça que j'ai un premier ensemble de solutions ici. Mais en fait, pour voir bien les choses, ce que je vais faire, c'est que je vais chercher cette valeur du cosinus de t. Où est-ce que je la vois ? On a dit en trigonométrie, on voit la valeur du cosinus de t, sur l'axe OX. C'est en fait l'abscisse du point M. Bien, mais en fait, si je suis un peu malin et que je continue ça, je comprends que c'est ici, mais si je continue ça de droite, je me rends compte qu'en fait il y a un autre angle qui a le même cosinus, qui a la même abscisse. Ça va être l'angle de référence qui est en face. Et en face, c'est-à-dire l'angle est symétrique à l'angle t par rapport à l'axe OX. Ça, c'est l'angle moins t. Je me rends compte que les deux ont accès au même cosinus. Pas du tout le sinus, au même cosinus. Le cosinus, c'est cette longueur ici. La longueur ici, c'est le cosinus. C'est-à-dire l'abscisse du point M. Ces deux points, celui-ci et celui-ci, partagent le même cosinus. On peut donc écrire qu'il y a aussi comme solution x égale, c'est pas un très bel x, moins t à deux kpi près. Plus deux kpi pour k appartenant à z. Pourquoi à deux kpi près ? Encore une fois, parce qu'il y a celui-ci, oui, mais il y a aussi celui-ci quand je fais un tour, puis celui-ci quand je fais deux tours, etc. Donc en fait, l'idée visuelle, c'est qu'on prend notre point, où qu'il soit, et on trace une droite pour aller croiser, une droite verticale, pour aller croiser l'axe OX et se dire est-ce qu'il n'y a pas un angle quelque part qui a le même cosinus. Ça va être exactement la même chose pour sinus X, sauf que ça va être un petit peu différent. Maintenant, on va s'intéresser à l'axe qui est ici, l'axe des sinus, l'axe des ordonnées, l'axe sur lequel on lit la valeur du sinus. Donc si je fais ça, je me dis attendez, ici, de manière évidente, le même raisonnement, on a donc T qui a le même sinus que T, quels sont les X qui vérifient le sinus X égal au sinus T ? Bah il y a T, T plus 2pi, etc. C'est pour ça qu'on a cette première solution, de la même manière qu'on a ça au-dessus, c'est l'ensemble des T plus 2kpi. Mais ensuite, je vais faire le même raisonnement qu'au-dessus, et je vais aller tracer la valeur du sinus. Je fais ça comme ça, pouf pouf pouf, je viens ici, je sais que ça, cette chose-là ici, ça, cette longueur-là, c'est la valeur de mon sinus. N'y aurait-il pas un angle, encore une fois, un angle autre que T, qui a la même valeur de sinus ? Normalement, si vous avez suivi ce que je fais, oui. Il suffit que je continue ma petite droite, hop hop hop, les pointillés, jusqu'en face, et je me rends compte qu'il y a aussi ce point-là, ici, qui a la même valeur de sinus. En effet, lui, je vais lire son sinus, comme ça, je lui dis bon bah je suis ici, ok, je lis le sinus, j'obtiens ça. Alors la difficulté, enfin difficulté c'est un grand mot, mais la difficulté c'est, quel est cet angle-là ? Quel est cet angle-là, c'est-à-dire cet angle-là ? Cet angle-là qui a le même sinus, qui part bien donc de cet endroit-là, on part de cet axe-là et on dit, on prend l'angle jusqu'ici. Quelle est sa valeur exacte ? Alors si vous remarquez, il y a une symétrie de ma situation ici, par rapport à l'axe Y. Il y a une symétrie qui fait qu'en fait, je comprends que là j'ai mon angle T, ici, j'ai donc une valeur d'angle qui est aussi égale à T. Ça veut dire que cet angle-là que je cherche, c'est en fait, bah si je regarde bien, c'est en fait l'ensemble, enfin c'est 180 si vous voulez, ou pi, et là, l'espèce de demi-tour complet, c'est 180 ici, moins cette valeur-là. Si je retire cette valeur-là, il va me rester exactement ce que je cherche. C'est donc pi moins T. C'est pour ça que je peux écrire, si x égale pi moins T, plus 2kpi encore une fois, avec k appartenant à Z. Donc c'est les deux solutions qu'on vous donne dans le cours, et l'idée c'est que pour trouver le cosinus, tracez bien une droite verticale pour voir tous les points qui ont la même valeur de cosinus sur l'axe OX, pour trouver un sinus, tracez bien une droite horizontale qui va croiser l'axe OY pour trouver tous les points qui ont le même sinus. C'est tout ce que j'avais à commenter sur ça. Je vous dis, n'hésitez pas encore une fois à me poser des questions, à discuter dans la FAQ, et je vous dis à la prochaine vidéo.

Résolution d'équations

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