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Combinaison et intersection
Dans ce cours, nous abordons le concept des combinaisons avec des intersections. Pour illustrer cela, prenons l'exemple de 20 élèves d'une classe. Parmi ces élèves, 14 aiment les maths, 7 aiment la physique et 4 aiment les deux.
Pour comprendre cela visuellement, nous pouvons mettre en place un diagramme. Parmi les 20 élèves, 10 aiment les maths, 4 aiment les maths et la physique, et 3 n'aiment que la physique. En déduisant cela, nous arrivons à la conclusion qu'il y a 3 élèves qui n'aiment ni les maths ni la physique.
Maintenant, notre objectif est de prendre au hasard des sous-groupes de 4 élèves parmi ces groupes et de déterminer combien comportent 4 élèves qui aiment les maths. Étant donné qu'il n'y a pas d'ordre et pas de répétition dans les groupes, nous devons utiliser des combinaisons.
Dans nos sous-groupes de 4 élèves, nous devons en choisir 4 parmi les 14 élèves qui aiment les maths. Pour calculer le nombre de sous-ensembles possibles parmi ces 14, nous utilisons la formule 14! / (4! * 10!). Cependant, cette formule peut être simplifiée en supprimant certains termes. Ainsi, nous obtenons 14 * 13 * 12 * 11 / (4 * 3 * 2 * 1), ce qui équivaut à 1001.
Pour la deuxième question, nous devons déterminer combien de sous-groupes de 4 élèves comportent 2 élèves qui aiment seulement les maths et 2 élèves qui aiment seulement la physique. Il s'agit en réalité de deux sous-groupes de 2 élèves, l'un avec des élèves qui aiment la physique et l'autre avec des élèves qui aiment les maths.
Il y a 10 élèves qui aiment seulement les maths et 3 élèves qui aiment seulement la physique. Ainsi, nous devons choisir 2 élèves parmi les 10 qui aiment les maths et 2 élèves parmi les 3 qui aiment la physique. Le calcul est le suivant : 2! / (10! * (10-2)!) * 2! / (3! * (3-2)!). Simplifié, cela donne 2 * 9 * 2 / 2 * 3, soit 135 possibilités au total.
Cela montre comment nous pouvons utiliser les combinaisons et les intersections pour résoudre des problèmes comme celui-ci.
