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Rappels sur les définitions de limites


Il est important de comprendre les concepts de limites pour x tendant vers l'infini en mathématiques. Pour cela, nous devons connaître deux définitions : lorsque x tend vers l'infini et lorsque x tend vers un réel L. 

Lorsque x tend vers l'infini, cela signifie que peu importe le plateau Y que nous choisissons, la fonction finira toujours par dépasser complètement ce plateau. 

Lorsque x tend vers un réel L, cela signifie que toutes les valeurs de la fonction finiront toujours par être dans un couloir autour de la limite L. Peu importe la largeur du couloir, la fonction sera toujours comprise à l'intérieur.

Il est important de préciser si x tend vers l'infini ou vers un réel L dans la notation mathématique.

Ces concepts de limites pour x tendant vers l'infini sont similaires à ceux que nous avons vus dans les suites en mathématiques.

Il est conseillé de bien comprendre ces définitions et de les utiliser correctement dans les exercices, car cela peut être un point facile à perdre ou à gagner.

N'hésitez pas à poser des questions si vous avez des doutes, et nous vous retrouverons dans la prochaine vidéo.

Pour les définitions des limites pour x qui tend vers plus l'infini, on va vraiment avoir des choses très similaires aux suites. Donc il y en aura deux à connaître. Soit on tend vers plus l'infini lorsque x devient plus l'infini, soit on tend vers un réel L. En fait on pourrait aussi tendre vers moins l'infini, ce sera une définition parfaitement symétrique à celle-ci, c'est pour ça que je ne vais pas m'étendre dessus. Rappelez-vous, on dit qu'une fonction tend vers plus l'infini si, quel que soit le plateau Y égal grand A que je choisis, la fonction finit toujours par dépasser complètement ce plateau. Alors ici j'ai tracé une fonction qui tend vers plus l'infini en plus l'infini. Vous la reconnaissez, c'est la parabole x². Ce que j'ai fait, c'est que j'ai mis un petit plateau ici pour bien illustrer ce que j'explique. Donc on a un plateau, ici au niveau 4,5 genre à peu près. Si je le déplace, je me rends compte que quoi que je fasse, ou que j'aille aussi haut que j'aille avec mon plateau, pour un plateau donné, j'aurai toujours une valeur de x à partir de laquelle toutes les valeurs de ma fonction f finissent par être au-dessus de ce plateau. Et en effet, si je regarde par exemple pour un plateau à 10 disons, je peux dire qu'il existe une valeur de x centrée ici, au niveau de l'intersection, à partir de laquelle toutes les valeurs qu'on associe aux x de cet axe là, toutes les valeurs sur l'axe des x, les valeurs qu'on leur associe, c'est-à-dire les f des x, vont être au-dessus de ce plateau. Et en fait ça, quand c'est vrai pour tout plateau quelconque, c'est la définition de diverger vers plus infini. Si vous vous rappelez, c'est vraiment la même chose qu'on avait pour les suites. Retournons un peu à la formule et voyons ce que ça donne. Comme vous voyez, c'est ce que je disais. On dit que f de x tend vers plus infini quand x tend vers plus infini. Et on note limite de f de x égale plus infini quand x tend vers plus infini. Donc c'était moins nécessaire de le mettre pour les suites parce que n tendait uniquement vers plus infini. Ici, il faudra toujours préciser ça là. Le petit truc x tend vers plus infini, il faut toujours le mettre. Parce que des fois, x va tendre vers 3, etc. Donc il faut savoir de quoi on parle. Lorsque tout intervalle de la forme a plus infini contient un f de x pour x assez grand. Ce que ça veut dire, c'est en gros ce que je vous ai montré. Il faut qu'à un moment, on puisse toujours trouver un réel tel que dès qu'on parle des x qui sont à presse réels, alors la fonction est au-dessus du plateau qu'on a défini de manière arbitraire. Si on peut faire ça pour tout plateau, ça veut dire qu'on peut toujours monter sans jamais se faire bloquer par aucun plateau. La définition vers un réel L, quant à L, on va se rapprocher de la notion de couloir qu'on a eu pour les suites également. On va dire qu'en gros, L sera une limite quand toutes les valeurs de la fonction finiront toujours par être dans un couloir, quelle que soit la largeur du couloir, autour de la limite. J'illustre, parce que c'est vrai que c'est toujours un peu confus comme truc. Donc je vais vous le montrer avec un petit exemple graphique. Si je prends cette fonction, une fonction qui oscille et qui a l'air de converger vers ce que j'ai tracé en rouge, la limite y égale 3. Donc la définition de limite, ce qu'on va dire c'est que 3 va être une limite si, quand je trace un intervalle de taille quelconque autour de 3, il y a toujours un moment où quand j'aurai ce couloir autour de 3, il y a toujours un moment, si c'est bien la limite, il y a toujours un moment où toutes les valeurs de la fonction vont être comprises dans ce couloir. Peut-être que c'est dans longtemps, mais on va finir par y arriver. Alors si je vous trace un petit couloir comme ça, un couloir autour de la valeur 3, je prends une taille quelconque, ici j'ai pris une taille à peu près 1, un peu moins, genre 0.8. Donc je suis à 3.8 et à 2.2. Alors vous allez me dire ok, d'accord, il est bien ton couloir, mais il y a plein de choses qui ne convergent pas vers 3 qui vont être dans ce couloir. C'est vrai. Et la définition de la limite c'est de dire que ça, ce que je viens de faire, c'est vrai, quelle que soit la taille du couloir. Ça veut dire que si c'est la limite, je peux me permettre de réduire la taille du couloir drastiquement, ma propriété va toujours être vraie. Donc là je l'ai réduit et j'ai pris un couloir de taille 0.2 à peu près. 0.2 je vois qu'à partir peut-être, alors je vais le faire un peu plus petit encore, à partir non pas de ce réel là, mais à partir du réel, je ne sais pas, si on regarde un petit peu sur l'axe des abscisses, on est à peu près entre 0 et 10 ici. À partir du réel genre, je ne sais pas, 4, il y a un moment, ici il y a ce croisement là, à peu près, il y a un moment où ma fonction est toujours comprise dans le couloir. Ok, très bien. Si je continue à resserrer encore, je vais dire maintenant que c'est vos, je ne sais pas, un truc du genre, j'étais à 0.18, on va prendre un truc tout petit maintenant, 0.06 par exemple, autour de 3, donc la valeur verte du haut c'est 3.06, la valeur verte du dessous c'est 2.94, est-ce que toutes les valeurs de ma fonction bleue finissent par être dans ce couloir ? Oui, il existe bien un moment, un réel, je pense que c'est celui-ci en l'occurrence, il sera à peu près, si on regarde là, je ne sais pas, entre 15 et 20, il y a un moment où en effet toutes les valeurs de ma fonction sont dans le couloir. Et c'est ça l'idée de limite. Si je prends un couloir aussi petit que je veux, je peux trouver toujours un moment où toute ma fonction finit par être comprise dans ce couloir. C'est-à-dire que je peux m'approcher aussi infiniment près que je veux de 3, c'est ça une limite. Et c'est ce qui est défini dans la définition formelle. Quand vous voyez la définition formelle ici, on dit que f2x tend vers L quand x tend vers plus l'infini, encore une fois on parle du cas où x tend vers plus l'infini ici, et on note limite quand x tend vers plus l'infini de f2x égale L lorsque tout intervalle ouvert contenant L contient f2x pour x assez grand. C'est-à-dire qu'à un moment, autour de L on met un intervalle, un genre de couloir, f2x va toujours être dedans. Voilà. Vous avez déjà vu ça pour les suites. Je voulais bien réinsister et vous montrer un exemple avec des fonctions. C'est pas trop différent, c'est pas trop compliqué. Faut juste bien voir au travers de ces définitions un peu moches avec ces couloirs, ces couloirs de taille données, ces espèces de plateaux qu'on prend, etc. Ça reste très visuel et il va falloir essayer d'utiliser ces... bien utiliser quand même ces définitions dans certains exos. C'est des points faciles à perdre et qui sont pas si durs à gagner. Je pense qu'il y a un bon investissement à faire ici. Alors posez des questions dans la FAQ comme d'habitude si vous avez des problèmes, des doutes. Et je vous retrouve pour la prochaine vidéo.

En l'infini, limites finies et infinies

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