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Analyse

Généralités sur les fonctions

Dans cette vidéo, Corentin aborde le concept des fonctions paires et impaires. Il présente quatre fonctions différentes: un polynôme de degré 4, une fraction rationnelle, une somme de fonctions trigonométriques et une autre fonction trigonométrique.

Il commence par rappeler la définition d'une fonction paire, qui est vérifiée lorsque pour tout élément x dans son domaine de définition,  x est également dans le domaine de définition et f (-x) = f (x). De même, une fonction est impaire si la première condition est vérifiée et f (-x) = - f (x).

En analysant le premier polynôme, il remarque que son domaine de définition est ℝ (l'ensemble des nombres réels) et que pour tout x dans ℝ, l'opposé de x est également dans ℝ. Ainsi, la première condition est vérifiée et en calculant f (-x), il trouve que f (-x) = f (x). Donc, cette fonction est paire.

Ensuite, il passe à la deuxième fonction, une fraction rationnelle. Il constate que -1 appartient au domaine de définition de la fonction, mais que 1 n'y appartient pas, car il annule le dénominateur. Par conséquent, cette fonction n'est ni paire ni impaire, car la première condition n'est pas vérifiée.

Il poursuit avec la troisième fonction, une somme de fonctions trigonométriques. Il rappelle que la somme de deux fonctions paires est paire et que la somme de deux fonctions impaires est impaire. En analysant les fonctions individuellement, il remarque que le cosinus de 2x est impaire et que la tangente de x est également impaire. Par conséquent, selon le rappel, la fonction f₁₋₃ associée au cosinus de 2x plus la tangente de 2x est impaire.

Enfin, il aborde la dernière fonction, f₁₋₄, qui est la somme du cosinus de 2x et du sinus de 2x. Il constate que f₁₋₄ (π/4) = cosinus (π/4) + sinus (π/4) = 1,5, mais que f₁₋₄ (-π/4) = cosinus (-π/4) + sinus (-π/4). Étant donné que le cosinus est pair et que le sinus est impaire, le terme avec le cosinus peut être simplifié et il conclut que f₁₋₄ (-π/4) = 0. Ainsi, f₁₋₄ n'est pas paire ni impaire.

En résumé, le polynôme de degré 4 est paire, la fraction rationnelle n'est ni paire ni impaire, la somme de fonctions trigonométriques est impaire et la somme du cosinus de 2x et du sinus de 2x n'est ni paire ni impaire.

Salut à tous, c'est Corentin. On se retrouve aujourd'hui pour une nouvelle vidéo sur un exercice assez classique et assez important à maîtriser à mon sens puisqu'il part de la notion fondamentale de fonctions paire et impaire. Alors le concept de cet exercice est assez simple, on nous donne quatre fonctions dont on connaît assez bien la forme puisqu'il s'agit pour la première d'un polynôme de degré 4, pour la seconde d'une fraction rationnelle et pour les deux dernières de fonctions faisant intervenir des fonctions trigonométriques et c'est à nous de déterminer si ces fonctions sont paires ou impaires ou ni l'un ni l'autre. Commençons l'exercice par un rappel, un rappel sur ce qu'est une fonction paire. Une fonction est paire si et seulement si pour tout élément x dans son domaine de définition, x appartient lui aussi à son domaine de définition et f de moins x est égal à f de x. Elle est impaire si la première hypothèse de cette définition est vérifiée et f de moins x est égal à moins f de x cette fois-ci. Commençons d'emblée par notre première fonction, notre fameux polynôme de degré 4. On remarque quoi ? On remarque que son domaine de définition est R tout entier, comme tout polynôme. A partir de là, pour tout x dans R, son opposé appartient lui aussi à R, donc la première hypothèse de notre définition est vérifiée. Enfin il nous reste à calculer f indissant de moins x et voir ce que ça donne. On réinjecte moins x dans la formule en n'oubliant pas les parenthèses, on mène à bien notre calcul et on trouve enfin que f indissant de moins x est égal à f indissant de x. On en conclut quoi ? Que f est paire. Attaquons-nous maintenant à notre deuxième fonction, notre fraction rationnelle. On remarque quoi dans ce cas ? On remarque que moins 1 appartient au domaine de définition de f2, mais que 1 n'y appartient pas. En effet, 1 annule le dénominateur de cette fraction rationnelle. On en conclut quoi ? Que f n'est ni paire ni impaire puisque la première hypothèse de notre définition n'est même pas vérifiée. À présent, attardons-nous sur notre somme de fonctions trigonométriques. Ce que je vous propose de faire c'est un second rappel. Un second rappel qui nous dit que la somme de deux fonctions paires est paire et que la somme de deux fonctions impaires est impaire. On remarque quoi ? On remarque que x dans le cosinus de 2x est impaire et que x dans le tangent de x est elle aussi impaire. À partir de là, d'après le rappel, f1-3 qui a x associé au cosinus de 2x plus tangent de 2x est elle aussi impaire. Notre dernière fonction à présent, la fonction f1-4 qui a x associé au cosinus de 2x plus sinus de 2x. On remarque quoi ? On remarque que f1-4 de pi sur 4 est égal à cosinus de pi sur 4 plus sinus de pi sur 4, jusque là je ne vous apprends rien, qui est égal à 1,5. Mais que f1-4 de moins pi sur 4 est égal à cosinus de moins pi sur 4 plus sinus de moins pi sur 4. On peut sortir le moins du cosinus par parité et le faire disparaître par parité. On en conclut que f1-4 de moins pi sur 4 est égal à 0. Conclusion, ici aussi f1-4 n'est ni paire ni impaire.

Parité

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