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Algèbre

Théorèmes de Bézout et Gauss

Dans cet exercice, nous cherchons à résoudre l'équation diophantienne suivante : 13x + 9y = 2. 

Pour résoudre ce type d'équation, nous devons tout d'abord rappeler qu'elle a au moins une solution entière si et seulement si le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) des coefficients devant x et y divise le terme constant c. Dans notre cas, le PGCD de 9 et 13 est 1, car 13 est un nombre premier qui ne divise pas 9. Puisque 1 divise 2, l'équation 13x + 9y = 2 a des solutions entières.

La méthode consiste alors à trouver une solution particulière qui vérifie l'équation, puis à généraliser cette solution en ajoutant des coefficients. 

Pour trouver cette solution particulière, on peut soit la deviner, soit faire des tests. Une autre méthode est d'utiliser l'algorithme de Clyde pour trouver le PGCD, puis de multiplier la solution par le facteur nécessaire pour obtenir le nombre souhaité. Dans notre cas, nous savons déjà que 1 est une solution (d'après le théorème de Bézout), donc nous multiplions simplement cette solution par 2. Ainsi, nous obtenons une solution particulière qui est x = -4 et y = 6.

Maintenant, nous souhaitons déterminer l'ensemble des solutions. Pour cela, nous utilisons la méthode suivante : x = -4 + 9k et y = 6 - 13k, où k est un nombre entier. Ces équations nous permettent de trouver toutes les solutions de l'équation diophantienne.

En résumé, l'équation 13x + 9y = 2 a des solutions entières. Une solution particulière est x = -4 et y = 6. L'ensemble des solutions est donné par les équations x = -4 + 9k et y = 6 - 13k, où k est un nombre entier.

Salut ! Dans cet exercice, on veut résoudre une équation duophancienne qui est 13x plus 9y est égale à 2. Donc, pour résoudre ça, on fait un petit rappel, pour résoudre une équation ax plus by égale c, on sait qu'elle admet déjà cette équation à une solution, au moins une solution entière, si et seulement si le PGCD de a et b, donc c'est les coefficients devant x et devant y, si le PGCD divise c, donc le nombre qui est là. Alors bon, on va regarder, ici le PGCD de 9 et 13 c'est 1, tout simplement parce que 13 est un nombre premier et qu'il ne divise pas 9, donc le PGCD c'est 1, mais du coup 1, ça divise 2, classique, donc 13x plus 9y égale 2 admet des solutions entières, donc des couples solutions. Donc maintenant, la méthode à faire, c'est de trouver une solution particulière, donc ça veut dire de trouver un x, un y, qui vérifie bien cette égalité, et ensuite on généralisera les solutions particulières avec les coefficients, on verra ça juste après, les solutions générales avec les coefficients, on verra ça juste après. Alors pour trouver une solution particulière, soit il y en a une qui saute aux yeux, ou alors on y va un peu à tâtonnement, on fait quelques tests et on en trouve une, soit on fait l'algorithme de Clyde, et ensuite on fait l'algorithme de Clyde pour trouver le PGCD, donc ici pour trouver 1, on sait que ça existe, parce que c'est le théorème de Bézout qui nous dit ça, et ensuite on multipliera par ce qu'il faut pour trouver le nombre qu'on a. On va voir ça, ça va être un peu plus clair. Donc là, on sait que 1, c'est 13x-2 plus 9x3, et ça c'est la relation de Bézout, et du coup nous ce qui nous intéresse c'est d'avoir 2, pas 1. On multiplie tout simplement par 2. Donc ça nous fait 13x-4, d'accord, moins 2 devient moins 4, plus 9x6, simplement, 3 devient 6, on a multiplié par 2, donc voilà, on a nos coefficients, enfin notre x et notre y, qui vérifient bien cette équation. Du coup, on a une solution particulière qui est moins 4, 6, c'est une solution de 13x plus 9y est égal à 2, mais du coup, ce qui nous intéresse c'est l'ensemble des solutions. Donc l'ensemble des solutions, la méthode pour le faire, c'est donc on a x qui vaut sa solution particulière plus 9k. Donc plus 9k c'est, on prend le coefficient qui est devant le y et on le met ici avec un k, et pareil pour y, on fait 6 moins 13k, alors cette fois-ci on met le moins devant le coefficient qui est devant le x. Et donc voilà pour l'ensemble des solutions de cette équation.

Équation diophantienne

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