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Nombre de diviseurs
Dans cet exercice, nous devons compter le nombre de diviseurs du nombre 300 puissance 300. Pour cela, nous devons décomposer 300 puissance 300 en facteurs premiers, puis conclure avec le nombre de diviseurs de ce nombre.
Nous commençons par remarquer que 300 est égal à 3 fois 10, ce qui est équivalent à 3 fois 2 au carré fois 5 au carré. En élevant cela à la puissance 300, nous obtenons 3 puissance 300 fois 2 au carré fois 5 au carré puissance 300.
En distribuant la puissance dans le produit, nous obtenons 3 puissance 300, 2 au carré fois 300 et 5 au carré fois 300. Il s'agit de puissances de puissance, donc nous multiplions les exposants, ce qui donne 2 puissance 600 et 5 puissance 600.
Maintenant, pour déterminer le nombre de diviseurs, nous utilisons une formule : si nous avons la décomposition en facteurs premiers d'un nombre n égale à p1 puissance alpha 1 fois p2 puissance alpha 2, etc., alors le nombre de diviseurs est égal à (alpha 1 + 1) fois (alpha 2 + 1), etc.
En utilisant cette formule, nous prenons toutes les puissances et nous leur ajoutons 1, puis nous multiplions tout cela. Dans le cas de 300 puissance 300, nous avons 301 fois 601 fois 601 diviseurs, ce qui donne un total de 108 721 501 diviseurs.
Maintenant, pour la deuxième question qui demande de trouver un nombre ayant plus d'un milliard de diviseurs, nous remarquons que nous sommes déjà très proches avec 108 721 501 diviseurs. Nous devons juste trouver un moyen de multiplier ce nombre par 10 pour atteindre le milliard.
En prenant par exemple la puissance 9, cela ajoute 10 diviseurs (puisque 9 + 1 = 10). En multipliant tous les diviseurs par 10 dans la formule, nous atteignons le milliard de diviseurs pour 300 puissance 300 fois 7 puissance 9.
