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Utiliser Fermat 1/2
Dans cet exercice, nous devons démontrer que, pour tout nombre premier P différent de 3 et tout nombre naturel n, l'expression 3^n + P - 3^(n+1) est divisible par P.
Nous allons utiliser le théorème de Fermat pour résoudre cet exercice. Le théorème de Fermat stipule que, si A est un nombre entier et P est un nombre premier qui ne divise pas A, alors A^P - 1 est congru à 1 modulo P.
Nous voulons montrer que 3^n + P - 3^(n+1) est congru à 0 modulo P. Pour cela, nous allons voir si nous pouvons utiliser le théorème de Fermat.
Dans l'énoncé, il est précisé que nous avons un nombre premier différent de 3. Étant donné que P est premier et différent de 3, cela signifie simplement que P ne divise pas 3. Par conséquent, nous pouvons appliquer le théorème de Fermat avec 3 et P.
D'après le petit théorème de Fermat, nous avons 3^P - 1 est congru à 1 modulo P.
Maintenant, nous allons utiliser ce résultat. Nous voulons faire apparaître les puissances 3^(n+P) et 3^(n+1). Nous allons donc multiplier cette congruence par 3^(n+1). Avant cela, nous allons tout passer d'un côté pour obtenir 0.
Donc, en multipliant par 3^(n+1), nous obtenons 3^(n+1) * (3^P - 1) - 3^(n+1).
Maintenant, nous avons obtenu la puissance que nous recherchions, à savoir 3^(n+1). Et comme nous avons deux puissances de 3 différentes en produit, nous additionnons les exposants. Donc, cela devient (n+1) + (P-1) = n + P.
Finalement, nous avons démontré que 3^n + P - 3^(n+1) est congru à 0 modulo P.
