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Algèbre

Nombres Premiers

Dans cet exercice, nous utilisons le théorème de Bézout pour calculer différentes expressions. Nous commençons par calculer 1 plus la racine carrée de 6 au carré, 1 plus la racine carrée de 6 puissance 4 et puissance 6, en utilisant les identités remarquables et les calculs simples. Ensuite, nous décomposons en facteurs premiers les nombres obtenus et observons qu'ils sont premiers entre eux, car ils n'ont aucun diviseur commun. 

Ensuite, nous généralisons ces calculs en utilisant n au lieu de carré, 4 ou 6, et nous trouvons les valeurs de an et bn correspondantes. 
Nous calculons également an plus 1 et bn plus 1 en fonction de an et bn, en appliquant les règles de calcul des puissances. 

Enfin, nous démontrons que si 5 ne divise pas an plus bn, alors 5 ne divise pas non plus an plus 1 et bn plus 1, en utilisant la contraposée. Nous utilisons les propriétés de la somme de deux nombres divisibles par 5 pour montrer que si 5 divise an plus 1 et bn plus 1, alors il divise également an plus bn. 

En conclusion, nous démontrons que si an et bn sont premiers entre eux, alors an plus 1 et bn plus 1 sont également premiers entre eux. Nous concluons également que les valeurs de an et bn trouvées précédemment sont toujours premières entre elles. L'exercice se termine en expliquant que ces résultats sont généralisables et en prouvant qu'ils sont vrais pour tous les n.

Salut, bienvenue dans cet exercice un peu abstrait sur l'utilisation du théorème de Bézout, qu'on va pas mal utiliser dans cet exercice. Au début, on nous demande de calculer 1 plus racine de 6 au carré, 1 plus racine de 6 puissance 4, puissance 6, et après de faire une décomposition en facteur premier et d'en déduire quelque chose. On va faire ça. 1 plus racine de 6 au carré, là c'est l'identité remarquable, tout simplement, ça nous fait 7 plus 2 racine de 6, puissance 4, on prend 7 plus 2 racine de 6, on le met au carré, après calcul et simplification ça nous fait 73 plus 28 racine de 6, puissance 6 maintenant, ce qu'on fait c'est on multiplie celui-ci avec celui-ci, parce que 6 c'est 4 plus 2, donc à la puissance 6 c'est à la puissance 2 fois à la puissance 4. Donc on va multiplier ça et ça, encore une fois, là c'est de la double distributivité, on sait le faire, après calcul on trouve 847 plus 342 racine carré de 6. Après on nous demande de décomposer en facteur premier le nombre 847 et 342, que peut-on en déduire ? On fait la décomposition en facteur premier, 847 c'est 7 fois 11 au carré, 342 c'est 2 fois 3 au carré fois 19, ce qu'on peut en déduire c'est qu'ils sont premiers entre eux, parce qu'il n'y a aucun diviseur en commun dans chacune des décompositions, enfin il n'y a aucun nom premier qui apparaît dans chacune des décompositions en même temps, donc ils sont premiers entre eux tout simplement. Ensuite dans la deuxième question, on nous dit, on va généraliser un peu tout ça, donc 1 plus racine de 6 puissance n, on sait que ça va être an plus bn racine de 6, avec an et bn des entiers. Première question, que valent a1 et b1 ? Et ensuite donner d'autres valeurs de an et bn. Alors on a juste à aller voir ce qu'on a fait tout à l'heure, a1 et b1 valent 1, c'est qu'on est à la puissance 1, ça vaut 1, et ensuite donner d'autres valeurs, là on a juste à lire pour a2 b2, on a a2 qui vaut 7, b2 qui vaut 2, pareil on identifie avec les calculs qu'on a fait, on trouve que a4 vaut 73, b4 vaut 28, a6 vaut 847, b6 vaut 342. Bon voilà, alors il manque a3, a5 éventuellement, on ne va pas les calculer parce que ce n'est pas ce qu'on nous demande. Ensuite on nous dit, calculez an plus 1 et bn plus 1 en fonction de an et bn. Donc là on va se lancer dans le calcul de 1 plus racine de 6 puissance n plus 1, parce que ça va nous déterminer an plus 1 et bn plus 1, ça c'est 1 plus racine de 6 puissance n fois 1 plus racine de 6. C'est une règle de calcul des puissances tout simplement. Mais 1 plus racine de 6 puissance n, on sait que c'est an plus bn racine de 6. On se retrouve avec une double distributivité à faire, on l'a fait, et ensuite on identifie là-dedans qu'est-ce qui multiplie racine de 6, qu'est-ce qui multiplie par racine de 6, et on trouve que an plus 1, donc ce qui multiplie par racine de 6, c'est an plus 6 bn, et bn plus 1, donc ce qui multiplie racine de 6, c'est an plus bn. Donc on a que an plus 1 c'est an plus 6 bn, bn plus 1 c'est an plus bn. Ensuite on nous dit, alors ça c'est la question un peu délicate de l'exo, enfin c'est une des deux questions, les deux dernières c'est là où il faut bien réfléchir, on nous dit de montrer que si 5 ne divise pas an plus bn, alors 5 ne divise pas non plus an plus 1 et bn plus 1. Donc ce qu'on va faire, c'est on va faire la contraposée. Donc la contraposée, on rappelle, c'est si on veut montrer que p implique q, on montre que non q implique non p. C'est la contraposée, c'est à ne pas confondre avec un raisonnement par l'absurde. Donc là ce qu'on va montrer, donc là le p c'est si 5 ne divise pas an plus bn, alors, donc ça c'est notre q, ça c'est p, et ça c'est q, donc nous on veut montrer non q implique non p. Ça veut dire le contraire de 5 ne divise pas an plus 1 et bn plus 1, ça veut dire que 5 divise an plus 1 et bn plus 1, et on veut montrer le contraire de 5 ne divise pas an plus bn, donc on veut montrer que 5 divise an plus bn. Donc en gros, la contraposée, c'est si 5 divise an plus 1 et bn plus 1, alors 5 divise an plus bn. Ce n'est pas forcément évident de prime abord, parce qu'on perd un rang. S'ils divisent les deux et qu'ils divisent la somme, c'est évident. Sauf que là, il faut bien faire attention que 5 va diviser, dans notre contraposée, 5 va diviser an plus 1 et bn plus 1, et on veut qu'il divise la somme, mais avec n, pas avec n plus 1. Donc on va voir comment on s'y prend. Donc voilà, on va montrer que si 5 divise an plus 1 et 5 divise bn plus 1, alors 5 divise la somme, mais de an et bn. Donc, s'ils divisent les deux, alors ils divisent la somme avec n plus 1. Ça, c'est ce que je disais, ça c'est une propriété d'arithmétique qu'on connaît. S'ils divisent deux nombres, ils divisent leur somme. Mais, si on fait cette somme-là, an plus 1 plus bn plus 1, en utilisant cette écriture-là, on se retrouve avec 2an plus 7bn. On va voir un peu comment ça s'écrit. On se retrouve avec deux facteurs de an plus bn plus 5bn. 7, on l'a séparé en 2 plus 5bn, on l'a factorisé par 2. Mais, 5 divise cette somme-là. Donc, il divise ça, c'est sûr, mais du coup, il divise ça aussi. Si on veut voir un peu plus clair, on peut le voir en termes de congruence. Ça, on sait que c'est congru à 0 modulo 5. Celui-là est congru à 0, donc celui-là doit forcément aussi être congru à 0 modulo 5. Donc en gros, 5 divise deux facteurs de an plus bn. Mais, 5 est premier avec 2, donc d'après le lemme de Gauss, 5 divise an plus bn. 5 divise 2 fois an plus bn. Il est premier avec 2, donc nécessairement, il divise an plus bn. Donc voilà, on a montré la contraposée. Ça veut dire qu'on a montré que si 5 divise an plus 1 et bn plus 1, il divise an plus bn. Donc, si on revient à la propriété de départ, s'il ne divise pas an plus bn, alors il ne divise pas an plus 1 et il ne divise pas bn plus 1. Donc, forcément, il ne divise pas la somme. Et comme il ne divise pas an plus bn, donc les premières valeurs de n, parce que c'est égal à 2, de proche en proche, il ne divise pas an plus bn. Donc voilà. Parce que la deuxième partie, c'était en déduire que 5 ne divise pas an plus bn. Donc voilà, ça, il fallait faire de proche en proche. Donc, proche en proche, c'est une hérédité, en fait. On applique l'hérédité. Ensuite, la dernière question démontrait que si an et bn sont premiers entre eux, alors an plus 1 et bn plus 1 sont premiers entre eux. En gros, il faut montrer que le critère premier entre eux se transmet de proche en proche. Et ensuite en déduire que an et bn sont toujours premiers entre eux. C'est ce qu'on avait conclu pour le premier exercice, qu'ils sont premiers entre eux. Alors on aurait pu aussi regarder avec ceux-là, 847, 342, on les a vus, 73 et 28, il fallait écrire un peu, 7 et 2, c'est évident qu'ils sont premiers entre eux, mais voilà, c'est ce qu'on avait observé un peu dans la première question. Et là, on le généralise. Donc, on va commencer par exprimer an et bn en fonction de an plus 1 et de bn plus 1. Parce qu'ici, ce qu'on a, c'est an plus 1, bn plus 1 en fonction de an et bn. Là, on va faire le contraire. Donc, en reprenant ce système-là, en faisant des petites opérations pour isoler an et ensuite isoler bn, donc pour isoler bn, on fait l1 moins l2, parce qu'il y a an qui va se simplifier, et pour isoler an, on fait 6l2 moins l1, donc on fait 6 fois tout ça, moins celle-ci, on va se retrouver avec 6bn moins 6bn, ça va se simplifier, et donc finalement, ce qui reste, c'est que 5bn est égal à an plus 1 moins bn plus 1, et 5an est égal à 6bn plus 1 moins an plus 1. Alors, la raison pour laquelle je laisse comme ça, je laisse le 5 ici et que je ne divise pas par 5 ici, c'est tout simplement qu'on manipule des entiers. Donc ça, c'est quelque chose que je vous invite à faire quand on manipule des entiers, on évite les fractions. Parce que s'il y a des fractions, on a tendance à retrouver des nombres qui ne sont pas entiers, et en arithmétique, quand on travaille avec des entiers, on préfère écrire une égalité comme ça plutôt que de mettre sur une fraction avec diviser par 5, parce que ça sous-entend que ce sont des nombres qui ne sont pas entiers, et on travaille avec des entiers, donc ça ne nous intéresse pas. Donc, on garde ces inégalités, et on revient un peu à la question de savoir si an et bn sont premiers entre eux, est-ce que an plus 1 et bn plus 1 sont premiers entre eux. Donc on regarde si an et bn sont premiers entre eux, d'après le théorème de Bézout, il existe u et v qui appartiennent tous les deux à z, donc en gros le couple uv appartient à z², tel que an fois u plus bn fois v est égal à 1. C'est une égalité de Bézout. On multiplie tout ça par 5, parce que nous on a des 5 qui traînent un peu partout. On multiplie tout ça par 5, donc ça fait 5 an u plus 5 bn v est égal à 5. Et bien là, 5 an on le remplace par 6 bn plus 1 moins an plus 1. Le but c'est de faire apparaître une égalité de Bézout avec an plus 1 et bn plus 1. Donc on remplace 5 an par ça, on remplace 5 bn par ça, et après factorisation on trouve que an plus 1 facteur de vn moins u plus bn plus 1 facteur de 6u moins v est égal à 5. Alors ça c'est une égalité. Ce n'est pas tout à fait une égalité de Bézout parce qu'on a égal à 5 et on aimerait bien avoir égal à 1. Donc on dit que d c'est le pgcd de an plus 1 et bn plus 1. Et si on a une égalité comme ça, ça ne nous dit pas qu'ils sont premiers entre eux, ça nous dit que leur pgcd divise 5. D'après cette égalité-là, le pgcd, donc d, divise 5. Mais 5 c'est un nombre premier. Donc les seules valeurs possibles pour d, parce que d doit diviser 5, les seules valeurs possibles c'est 1 ou 5, parce que 5 c'est un nombre premier. Donc si d est égal à 5, ça veut dire que 5 divise an plus 1 plus bn plus 1, parce que c'est le pgcd, il divise la somme. C'est exclu d'après la question c, c'est pour ça qu'on nous a demandé ça, c'est exclu, donc nécessairement d est égal à 1. Donc comme le pgcd de a1 b1 est égal à 1, pareil, de proche en proche, le pgcd de an et bn est égal à 1, donc an et bn sont premiers entre eux pour toute n. Et donc voilà ce qui conclut cet exercice.

Vers la sup : racine puissance n

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