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Congruence : équation degré 2
Dans cet exercice, nous devons résoudre l'équation x²-2x+2≡0 (mod 17) en utilisant l'équation du second degré en congruence. Tout d'abord, nous devons montrer que α=5 est une solution de l'équation E. En remplaçant x par 5, nous obtenons 25-10+2=17, qui est congruent à 0 modulo 17. Donc, α est bien une solution de E.
Ensuite, nous posons x̄=x-α pour trouver toutes les solutions de E. En remplaçant x par x̄+α dans l'équation E, nous obtenons (x̄+α)²-2(x̄+α)+2≡0 (mod 17). En développant l'équation, nous obtenons x̄²+8x̄≡0 (mod 17).
Nous factorisons l'équation en utilisant la congruence à 0 modulo 17, ce qui nous donne x̄(x̄+8)≡0 (mod 17). Selon le lemme de Gauss, puisque 17 est premier et qu'il divise le produit, il divise soit x̄ soit (x̄+8). Nous avons donc deux possibilités à étudier :
1) Si 17 divise x̄, cela signifie que x≡5 (mod 17).
2) Si 17 divise (x̄+8), cela signifie que x≡14 (mod 17).
Ainsi, toutes les solutions de E sont x≡5 (mod 17) ou x≡14 (mod 17).
