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Algèbre

Dénombrement : combinaisons

Le cours aborde le problème de déterminer combien de nombres entiers inférieurs à 10^P (puissance P) existent. On commence par remarquer qu'il y en a 10^P + 1, en considérant le 0. Ensuite, on cherche à savoir combien de ces nombres ont une somme de chiffres égale à 3. On utilise des exemples pour comprendre la structure du problème. Pour

Alors, on considère un entier naturel P. Déjà, on sent que ça va être un exercice un peu théorique. Combien de nombres entiers inférieurs à 10 puissance P existent-ils ? Premier truc, quand on vous dit inférieur, je pense que ça suppose, en règle générale, ça suppose inférieur ou égal. Donc combien il y en a ? Vous pouvez les écrire. Il y a 0, 1, 2, 3 petits points, 10 puissance P mais moins 1, puis 10 puissance P. Il y en a combien ? Il y en a 10 puissance P, plus 1. Le plus 1 étant le 0. Celui-ci, il ne faut pas oublier le 0. Ça, c'est la question qui tue. Ce n'est pas très compliqué. Parmi ces nombres, il y en a beaucoup. Combien sont-elles que la somme de leurs chiffres vaut exactement 3 ? Pas évident, comme ça. Il faut essayer de comprendre un peu la structure de la question, comment on va construire les différents nombres et comment on va faire ça. Premier exemple, pour P égale 0. 10 puissance 0, l'ensemble des nombres en dessous de 10 puissance 0, 10 puissance 0 c'est 1, il n'y a que 1. Combien de nombres tels que la somme vaut 3 ? Je pourrais appeler ça ensemble 0 égale l'ensemble vide. Pour ces nombres-là, il y a 0 nombres dont la somme fait 3, parce que c'est mort quoi. Ensuite, là on prend P égale 1, donc c'est 10 puissance 1. Combien de nombres dont la somme des chiffres vaut 3 ? Là je peux écrire E1, l'ensemble des nombres pour lesquels la somme des chiffres vaut 3, il y en a 1. Ce n'est pas très probant, vous allez me dire, donc P égale 2. Là c'est 0, 1, 2, 3 petits points, 100. Bon, on a compris. Donc quels sont les nombres entre 0 et 100 ? Donc il y en a 101. Quels sont les nombres dont la somme des chiffres vaut 3 ? Déjà il y en a 3, il était déjà là avant donc il est toujours là, il n'y a pas de raison. Et ensuite, entre 10 et 20, par exemple, il y a quoi ? Il y a 12. Très bien, ça fait 1 plus 2, donc vous avez 12. Ensuite, pas loin, il y a 21. Puis pas loin, il y a 28, 29, ça ne marche pas, 30. Et en fait, au-dessus de 30, c'est compliqué, parce que 31, c'est mort, ça fait 4. Et ensuite, tous les nombres entre 30 et 40, en tout cas 39, c'est beaucoup trop. Et ensuite, à partir de 40, dans tous les cas, vous avez un 4. Vous avez le nombre des dizaines qui sera égal soit à 4, 5, 6, 7, 8, 9, c'est dans tous les cas trop grand. Donc en fait, je m'arrête là. Donc là, si vous voulez, j'en avais 0, là j'en avais 1, là j'en ai 4. Déjà, je vois que c'est un peu une structure, c'est un peu des carrés, donc pourquoi pas. Je vais quand même faire P égale 3, on ne sait jamais. P égale 3, donc là c'est 0, 1, 999, 1000. Et E3, c'est quoi ? E3, je vais essayer de le tracer ici. E3, ça va être E2 déjà. Donc ceux qu'on avait trouvé entre 0 et 100, ils sont toujours là, il n'y a pas de raison. Et ensuite, il faut réfléchir. Alors à partir de 100, il y a quoi ? Il y a 102, 111, peut-être facile, ce n'était pas avant. Après 111, il y a, je ne sais pas moi, à partir de 120, ensuite c'est mort. Parce que ça fait 130, 121, tout ça c'est beaucoup plus que 3 la somme. Donc c'est compliqué jusqu'à 199. À partir de 200, qu'est-ce qui se passe ? J'ai 201. Vous allez me dire, 2 c'est déjà mort, il ne faut plus qu'un 1 et un 0, donc 210. Ensuite, c'est mort. Ensuite, il y a 300. Et ensuite, même raison que tout à l'heure, quand j'étais arrivé à 30, j'étais bloqué. Bah ouais, même chose, la prochaine centaine c'est 4, donc c'est foutu. Là j'en ai combien ? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Bon, on n'est plus dans une règle de carré. J'avais l'impression d'avoir 0, 1, 2 au carré. J'en aurais eu 9, ça aurait été cool. Ce n'est pas le cas. Mais on commence à comprendre un peu l'idée. On voit qu'en gros, ce sont, c'est ça l'intuition que nous donnent ces premiers exemples. Il faut toujours faire ça, des premiers exemples. Soit une figure, faire des figures souvent, je le dis tout le temps, mais il faut aussi faire des premiers exemples. Les premiers exemples servent à ça, c'est comprendre, ok, apparemment tous les nombres de toute façon ne sont composés que des mêmes chiffres. Pour que la somme fasse 3, c'est soit des 3, soit des 1, soit des 2, et puis des 0. Donc c'est 3 avec des 0, ou une combinaison de 1 et de 2. Et donc là on va réfléchir maintenant pour une taille donnée. Parce que là, à chaque fois, je vois que ça s'accumule. J'ai les 4 là, plus ceux de taille 3. Et si je prends une taille p donnée, donc je vais dire p, qui appartient à, alors je vais dire pour une taille 4 ou plus, parce qu'on a déjà fait les cas 0, 1, 2, 3. Pour une taille donnée, 10 puissance p, c'est un 1 avec p0 derrière, donc tous les nombres avant 10 puissance p en haut, ils ont 10 puissance p chiffre. Pour un p comme ça, on va essayer de comprendre quels sont les différents nombres dont la somme des chiffres fait 3. En fait c'est pas compliqué, c'est l'ensemble des nombres, enfin c'est pas compliqué, c'est l'ensemble des nombres où il y a soit 3, 1, soit un 2 et un 1, soit un 3. Et c'est un peu ce que je veux expliquer ici. Quand je suis de taille p, j'ai que 3 choix. J'ai soit des nombres avec que des 1, donc en fait j'ai 3, 1, et j'ai donc p-3, 0. Quand j'écris l'écriture de mon nombre, si mon nombre il a genre 50 chiffres, en fait les 3 quarts des chiffres, enfin beaucoup des chiffres, ça va être que des 0 en fait. Imaginons que j'ai par exemple, je sais pas, 3 et 49, 0. Voilà, là la somme des chiffres fait 3. Ou j'ai, je sais pas, 1, 47, 0, 1, 1, si vous voulez. Et donc voilà, donc j'ai soit que des 1, et après je vais voir comment je vais placer mes 1, ça j'ai préparé des petites boîtes. Ensuite j'ai ceux où il y a un 1 et un 2, et le reste des chiffres c'est quoi, ben c'est vu qu'il y a p chiffres, ben j'ai 1 qui vaut 1, 1 qui vaut 2, et p-2 qui vaut 0. Ou bien ceux qui ont un 3 et puis p-1, 0, puis ça il n'y en a qu'un, c'est quand je mets le 3 devant et les 0 après. Donc j'ai plusieurs cas là, je vais dire, ben le cas numéro 1 c'est quoi ? Le cas numéro 1 c'est la manière de mettre, on pourrait dire, attention, de mettre 3, 1 dans p cases. Je vais voir, je fais encore des cases comme d'hab, mes petites boîtes à médicaments là. Donc je veux le nombre de manières que j'ai, le nombre de manières possibles de mettre 3, 1 dans p cases. Faut faire attention à ça. Si je mets 3, 1 dans p cases, il y aura notamment ça comme solution. Donc le reste c'est des 0. Mais s'il y a des 0 ici, c'est plus un nombre à p chiffres, c'est un nombre à p-2 chiffres. Donc il ne faut pas oublier que vu qu'on parle de nombre ici, j'ai une contrainte en plus où il ne faut absolument pas qu'il y ait de 0 sur la première case, sinon je ne suis plus dans le monde des chiffres, des nombres de taille p. Donc là ils ont une taille, c'est un nombre de chiffres quand je les écris p, et c'est vrai que s'il n'y a pas de 0 ici. Donc je suis obligé, dans le cas 1 là, hop, de fixer un 1 ici. Et ensuite je dois mettre p-1 cases, je vais mettre 2, 1 dans les p-1 cases. Donc en fait ce n'est pas 3 parmi p que je dois prendre, c'est le nombre de manières de choisir 2 cases parmi p-1 pour y mettre mes 1. Donc là, des nombres comme ça, j'en ai 2 parmi p-1. Deuxième exemple. Ceux qui ont un 1 et un 2 et ensuite p-2, 0. Comme on a dit, ils ne peuvent pas commencer par 0, donc ils vont commencer soit par 1, soit ils vont commencer par 2. Je n'ai pas le choix, s'ils commencent par 0, je ne suis plus dans le monde, encore une fois, je ne suis plus dans l'univers des nombres qui ont une taille p. Moi je vais m'occuper de cela pour l'instant. Donc j'ai ce cas là, où en fait j'ai quoi ? Je mets mon 1 ici, et je dois mettre mon 2 dans les p-1 cases ici. Donc je dois mettre mon 2, j'ai un 2 à mettre parmi p-1 cases. Et ensuite c'est la même chose ici, où je mets mon 2 ici et j'ai p-1 choix pour mettre mon 1. Donc j'ai ça, plus 1 choix parmi p-1, donc en fait c'est la même situation fois dessus. Donc ça, ça fait p-1 plus p-1, donc 2p-2, et ça, ça fait p-1 sur le calcul fois p-2 divisé par 2. Et enfin, troisième situation, je dois mettre un 3, et que le reste est dans des 0. Et comme on a compris facilement, le 3 ne peut être que ici, sinon ce n'est plus un nombre de tailles p, tout le reste est là-bas, donc il y en a un unique. Je ne vais pas mettre le 3 ailleurs, donc j'ai que un 3 avec 2 0 derrière. Et donc, si je fais la somme, j'obtiens pour simplifier un peu, ça fait p-1, donc on va calculer, plus 2 fois p-1, on peut factoriser tout ça peut-être, donc ça fait p-1, on va avoir p-1, p-2 sur 2, 2p-1, donc ça fait plus 4p-2 sur 2, et donc ensuite, on va demander le nombre total de ces nombres. Donc là, pour ceux qui font une taille p, j'ai trouvé la réponse, c'est ce truc-là. Je suis obligé de faire la somme maintenant. J'ai un nombre total, grand N, c'est la somme, bah en fait, pour k égale 0... Oups, je me disais bien que j'avais fait une erreur. Comment je l'ai pu voir ? Donc encore une fois, dans ma philosophie, il n'y a pas moyen de ne pas faire des erreurs. Ce qui est plus embêtant, c'est de ne pas les voir. Donc conseil général pour mes étudiants à qui je donne à chaque année, comme conseil pratique, il ne faut pas se névroser à se dire je fais des erreurs, zut, je veux en faire 0, vous en ferez toujours, mais bref, j'en fais encore moi-même. Ce qu'il faut, c'est par contre, être capable de les détecter, et avoir des petits contrôles permanents de trucs qui vont par là. Par exemple, moi j'ai checké vite fait ce plus 1, je me suis dit, attends 2 secondes, c'est pas possible que... Je sais que quand c'est de l'arithmétique, quand 2 nombres consécutifs se suivent, c'est toujours un paire et un impair, donc je sais que je peux écrire divisé par 2 et là j'ai un entier. Là c'est un nombre entier, là c'est un nombre entier. Ce plus 1 ici était gênant parce que si j'avais P qui était paire, je me mettais P égale 4 si vous voulez, ça fait 16 plus 4, 20, 21. Donc j'avais 21 demi, qui n'est pas un nombre entier, alors qu'à la base j'avais un nombre entier. Et donc ça, ça m'a fait bugger, je me suis dit zut, j'ai dû faire une erreur quelque part, une erreur de tournerie ou quelque chose. Et en effet, j'avais mis un moins 1 ici au lieu d'un moins 2, moins 2 est parfait parce que ça simplifie ici, moins 2 plus 2, et ça s'arrange. Et c'est bien, enfin c'est bien, c'est pas facile mais c'est un peu le truc difficile mais de réussir à développer ces petits mécanismes de contrôle permanents, c'est-à-dire en fait faire attention à ce que vous faites. Là moi j'étais là, j'ai bugué un peu parce que je sentais qu'il y avait un truc qui n'allait pas et donc je suis allé voir. Prendre cette patience, des fois ça peut avoir l'air d'une perte de temps mais c'est un bon réflexe quoi. Parce que les erreurs on en fait tout le temps, ça fait quoi, 32 ans, ça fait 10 ans que je fais des cours particuliers quasiment, je vous fais les maths en maths sub, tout ce que vous voulez, je fais des maths souvent et j'en fais encore, c'est pas grave. Bien sûr on en fait, le taux d'erreur varie, si vous bossez beaucoup et tout vous allez diminuer votre taux d'erreur, mais il en restera toujours un peu et l'importance d'avoir les mécanismes de contrôle et c'est ces mécanismes de contrôle qui vont en fait vraiment baisser votre taux d'erreur au final. Ça c'est une erreur de passage, après il y a l'erreur qui reste au bout de la copie. Donc ça sera la somme des k² plus k divisé par 2. Alors là c'est pas, bon si vous ne connaissez pas je vous le donne, c'est 1 demi de la somme des k² plus, c'est pas de parenthèse ici, la somme des k, et la somme des k² si vous ne les connaissez pas c'est compliqué donc je vous la donne, c'est, on va conclure là-dessus, entre 0 et p c'est p, p plus 1, 2p plus 1, le tout divisé par 6, donc ça c'est la somme des p premiers carrés plus la somme des p premiers entiers qui est p, p plus 1 sur 2. Sur la fin il y avait cette formule qui est plutôt du programme de SUP honnêtement, mais c'est pas très grave au pire on vous la donne. Si vous êtes arrivé ici déjà, c'est bon l'exercice est fini, il n'y a qu'un niveau terminal. Vous pouvez l'écrire, vous le connaissez, la somme des k² c'est pas, vous n'êtes pas censé la connaître donc c'est pas très grave. Je vous la met quand même ici en jaune pour qu'on comprenne bien cette formule, toujours bien de la connaître mais pas nécessaire.

Entiers dont la somme des chiffres vaut 3

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