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Algèbre

Dénombrement : combinaisons

Dans cet exercice de probabilité, on souhaite déterminer le nombre de billets à acheter dans une tombola pour que la probabilité de gagner soit supérieure à 1,5. 

On note N le nombre de billets à acheter et P la probabilité d'avoir au moins un billet gagnant. Pour calculer P, on calcule d'abord la probabilité d'avoir uniquement des billets perdants. 

Cette probabilité est donnée par le rapport entre le nombre de façons d'acheter N billets perdants parmi 998 billets perdants (N parmi 998) et le nombre de façons d'acheter N billets parmi les 1000 billets au total (N parmi 1000). 

Pour obtenir la probabilité d'avoir au moins un billet gagnant, on soustrait cette probabilité de 1. On obtient ainsi une équation polynomiale du second degré à résoudre pour trouver la valeur de N qui satisfait l'inéquation P ≥ 1,5. 

Après simplification et calcul des racines du polynôme, on trouve que N doit être supérieur ou égal à 293 pour avoir plus d'une chance sur deux d'avoir au moins un billet gagnant. 

Il est à noter que N ne peut pas dépasser 1000 car on ne peut pas acheter plus de billets que ceux disponibles dans la tombola.

Salut, bienvenue dans cet exercice de proba. Alors, on nous dit, dans une tombola, il y a 1000 billets en vente, et il n'y en a que 2 qui sont gagnants. On veut savoir combien il faut acheter de billets pour que la probabilité de gagner soit supérieure à 1,5. Donc, on note N, le nombre de billets qu'on va acheter, et P, c'est la probabilité d'avoir au moins un billet qui est gagnant. Donc pour calculer la probabilité d'avoir un billet gagnant, quand on en achète N, c'est P, N, qui dépend de N, on va calculer que c'est le contraire de la probabilité d'en avoir que des perdants. Donc la probabilité d'avoir que des perdants, c'est celle-ci. On va regarder, étant donné qu'on considère que c'est équiprobable, le nombre d'achats de N billets perdants possibles, donc c'est N parmi 998, parce qu'il y a 998 billets perdants, on en achète N, du coup il y a N parmi 998 façons d'acheter N billets perdants, et N parmi 1000 pour le nombre de billets totals qu'on peut acheter. Enfin, le nombre de façons d'acheter N billets parmi 1000. Donc ça, si on veut acheter des billets, c'est la probabilité d'avoir que des billets perdants. Donc 1 moins ça, c'est la probabilité d'avoir des billets gagnants. Donc on remplace N parmi 998 et N parmi 1000, parce que ça vaut, on simplifie et on se retrouve avec ça, qu'on développe ici pour avoir un polynôme du second degré, et ce qu'on veut, c'est que Pn soit supérieur ou égal à 1,5. Donc ça veut dire que cette écriture-là, cette expression-là, on veut que ce soit supérieur ou égal à 1,5. On passe de l'autre côté, donc on passe ça de l'autre côté, et celui-là aussi, et on se retrouve avec, du coup, 1,5. Enfin, ici il restera 1,5, et ici on aura toute l'expression, mais avec le signe moins qui aura disparu. On simplifie le polynôme et on se retrouve avec N carré moins 1999N plus 1000 fois 999. Alors non, il y a le 1,5 qui est venu ici. Et donc, après simplification, celui-ci on peut l'enlever. Une fois qu'on a fait la simplification, mis au même dénominateur, etc., du 1,5 qu'on passe de l'autre côté, on pourra l'enlever le dénominateur, parce que ce qu'on veut, c'est que ce soit négatif. Ce dénominateur étant positif, il ne va pas changer le signe. Donc on veut juste garder ce qui est au-dessus, et on veut que ce soit négatif. C'est un polynôme du second degré, on sait faire, on trouve les racines. Étant donné que le coefficient devant le N carré est positif, négatif, ce sera entre les racines. Donc les deux racines, en effet, ce sont des racines réelles, par contre, pas de chance, ce ne sont pas entières. Donc c'est environ 292,75 et la deuxième environ 1706,25. Donc on sait qu'entre ces deux racines, ce sera négatif. Nous, ça nous intéresse quand c'est négatif. Alors N ne peut pas dépasser 1000, parce qu'on achète N billets parmi 1000, donc on ne peut pas en acheter plus que 1000. Donc déjà, le 1706 ne va pas nous gêner. Par contre, là, on veut que ce soit plus grand. D'accord ? Donc à partir de 293, on a plus d'une chance sur deux d'avoir au moins un billet gagnant, et donc voilà pour cet exercice.

Tombola

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