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Algèbre

Dénombrement : combinaisons

Dans cet exercice, nous étudions l'indice de coïncidence d'un texte, qui représente la probabilité que deux lettres choisies au hasard soient identiques. L'indice de coïncidence est exprimé par la formule Na*(Na-1) / N*(N-1), où Na représente le nombre de lettres A dans le texte, Nz le nombre de lettres Z, et ainsi de suite pour chaque lettre. Pour chaque lettre, il y a deux façons de choisir deux lettres identiques parmi celles de cette lettre, soit deux parmi Na possibilités. Au total, il y a deux façons de choisir deux lettres parmi l'ensemble des lettres du texte, soit deux parmi N possibilités. En simplifiant cette formule, nous obtenons l'expression Na*(Na-1) / N*(N-1) comme l'indice de coïncidence. Cet indice est calculé indépendamment pour chaque lettre, et représente la probabilité d'obtenir deux lettres identiques pour chaque lettre, de A à Z. Cela résume l'exercice sur l'indice de coïncidence.

Salut ! Dans cet exercice, on s'intéresse à ce qu'on appelle l'indice de coïncidence qu'on a dans un texte, pour que, en fait, cet indice de coïncidence, c'est comme ça qu'on l'appelle, c'est, on a un texte avec N lettres, on prend deux lettres au hasard, quelle est la probabilité que ces lettres soient les mêmes ? Donc, pour ça, on nous dit que l'indice de coïncidence, on veut montrer qu'il est égal à Na fois Na-1 sur N fois N-1, avec chacune des lettres, où Na, c'est le nombre de A dans le texte. Donc, pareil, Nz, c'est le nombre de Z, Nb, c'est le nombre de B, etc. On va voir ce qu'il se passe juste pour le premier terme de cette somme, parce qu'on a l'impression que chaque lettre a son terme, donc on va voir ce qu'il se passe. Pour choisir un A dans le texte, on a deux, parmi Na, possibilités, pour choisir un A, pour que, si les deux lettres qu'on tire au hasard soient des A, il y a deux parmi Na possibilités de choisir deux A dans le texte, parmi tous les A qui existent. Mais, on a deux parmi N possibilités de choisir deux lettres dans le texte, étant donné qu'on nous dit qu'on tire simultanément deux lettres au hasard, donc on dit que c'est une situation d'équiprobabilité, donc, la probabilité de choisir deux A, c'est deux parmi Na sur deux parmi N, et donc, après simplification, on trouve que c'est, comme on voyait tout à l'heure, Na fois Na-1 sur N fois N-1. Mais, étant donné que l'événement obtenir deux lettres identiques, c'est une réunion disjointe d'événements, pour chacune des lettres, donc, l'indice de coïncidence, c'est bien cette probabilité-là, pour obtenir deux A, plus, etc., jusqu'à obtenir deux Z. Et donc, voilà pour cet exercice.

Indice de coïncidence d’un texte

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