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Algèbre

Dénombrement : combinaisons

Dans cet exercice, nous devons calculer la probabilité que le polynôme Q, dont les coefficients sont obtenus en lançant trois fois un dé à six faces et en notant les résultats successifs "ABC", ait deux racines réelles distinctes.

Pour cela, nous devons déterminer le nombre total d'issues possibles, qui est de 216 (6^3). Ensuite, nous devons trouver le nombre de cas où B²-4ac est strictement positif, ce qui est nécessaire pour avoir deux racines réelles distinctes. Pour cela, nous listons toutes les valeurs possibles pour 4ac en recensant toutes les valeurs de A et C, et en calculant 4ac pour chaque combinaison. Par exemple, le résultat du calcul pour ABC = 3x4x4 est 48.

Ensuite, nous listons toutes les valeurs possibles pour B et pour chaque valeur, nous comptons combien de cases dans le tableau des calculs de 4ac rendent B²-4ac strictement positif. En ajoutant ces possibilités, on obtient un total de 38. Cela correspond au nombre de cas où B²-4ac est strictement positif et donc à la taille de l'ensemble A. La probabilité de A est donc de 38/216, simplifiée en 19/108.

Nous suivons le même raisonnement pour calculer la probabilité de B, qui est le cas où Q a une racine réelle double (B²-4ac = 0), et pour calculer la probabilité de C, qui est le cas où Q n'a pas de racine réelle (B²-4ac < 0). En effectuant ces calculs, nous obtenons 5/216 pour B et 173/216 pour C.

Conclusion : La probabilité que Q ait deux racines réelles distinctes est donc de 173/216.

Salut ! Dans cet exercice, on nous dit qu'on jette trois fois un dé à six faces, on note ABC les résultats successifs qu'on a eus, et Q, c'est le polynôme qu'on va créer, avec ces coefficients ABC qu'on a trouvés. C'est-à-dire ABC seront des coefficients entiers. On veut savoir la probabilité que Q ait deux racines réelles distinctes. Alors, on est dans une situation d'écloprobabilité, donc on a besoin de connaître le cardinal d'Oméga qui est toutes les issues, et le cardinal d'Oméga, c'est 6 puissance 3, c'est 216 possibilités. Et nous, ce qu'on veut, c'est que B²-4ac soit strictement positif. On veut deux racines réelles distinctes, on se rappelle de ces cours de première, il faut que le discriminant B²-4ac soit strictement positif. Donc, on note A, l'événement, c'est l'ensemble des couples ABC, enfin, des triplés ABC dans Oméga, tels que B²-4ac soit strictement positif. Ce qu'on va faire, c'est regarder la probabilité d'être dans A, ça veut dire, étant donné qu'on est en situation d'écloprobabilité, le cardinal de A sur le cardinal d'Oméga. Pour ça, on a besoin du cardinal de A. Ce qu'on fait, c'est lister toutes les valeurs possibles pour 4ac. On recense toutes les valeurs de A, toutes les valeurs de C, et à chaque fois, ce tableau fait le calcul de 4ac. Par exemple, si on regarde ici, ce tableau correspond à 4x3x4, et ça nous fait 48. Maintenant, on a toutes les valeurs possibles de 4ac, et ce qu'on veut, c'est calculer le cardinal de A, parce que nous, ce qu'on veut, c'est B²-4ac. On va lister toutes les valeurs de B possibles, et pour chacune de ces valeurs, on va voir combien de cases dans ce tableau font que B²-4ac est strictement positif. Quand B est égal à 1, il y en a 0, parce que de toute façon, la plus petite, c'est 4. Quand B est égal à 2, B² vaut 4, la plus petite, c'est 4, donc on n'est toujours pas strictement positif. On sera égal à 0, mais on ne sera pas strictement positif. Je vais remonter un peu. Quand B vaut 3, B², c'est 9, et donc on a 3 possibilités pour que B²-4ac soit strictement positif. On compte pareil. Quand il vaut 4, 5, 6, on en aura 5, 14 et 16 possibilités. Et donc, toutes ces possibilités-là, ça nous fait 38. Finalement, le cardinal de A, c'est 38. Donc la probabilité de A, c'est 38 sur 216, qu'on simplifie en 19 sur 108. Pour B, on nous dit que Q est une racine réelle double. Là, on fait le même raisonnement, mais cette fois-ci avec B, qui est l'ensemble des triplés abaissés dans Omega, tel que B²-4ac soit égal à 0, et on en profite aussi pour faire la dernière, pour qu'il n'y ait pas de racine réelle, c'est-à-dire B²-4ac est strictement négatif. Donc, on fait le même raisonnement, on compte pour chaque valeur de B, on compte quelles sont celles qui correspondent bien ici à égal 0. Et donc, c'est bien 5 sur 116 pour B et pour C. Alors, on pourrait aussi compter, mais ce qu'on sait, c'est que le B²-4ac, il est soit strictement positif, soit strictement négatif, soit égal à 0. Il n'y a pas d'autre solution. Donc la somme des trois vaut 1. Donc, ça veut dire P de C, c'est 1-P de A-P de B. Donc, après calcul, ça nous fait 173 sur 216. Alors, on aurait pu aussi le faire en comptant toutes les valeurs. Il y en avait beaucoup. Donc, voilà, on va s'arrêter là. Et donc, ça conclut cet exercice.

Racines de polynômes

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